0232

234

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

W przypadku gdy 6 = 1 kryterium to nie pozwala rozpoznać zachowania się szeregu. Ciąg {G„} nazywamy ciągiem Cauchy'ego.

Jeśli porównanie szeregu (A) ze wspomnianymi szeregami standardowymi przeprowadzimy według twierdzenia 3 otrzymamy kryterium następujące:

Kryterium d’Alemberta. Rozpatrzmy dla szeregu (A) ciąg o wyrazach

On+t

a»

Jeśli dla dostatecznie dużych n spełniona jest nierówność

^c&n<q,

gdzie q jest liczbą stałą mniejszą od jedności, to szereg jest zbieżny, jeśli zaś poczynając od pewnego miejsca jest

^CI>n> 1 ,

to szereg jest rozbieżny (' ).

W tym przypadku także wygodniej jest posługiwać się inną formą tego kryterium: Załóżmy, że ciąg {Q)„} ma granicę (skończoną lub nieskończoną)

lim Q)„ = ^Ł2>.

Wówczas jeżeli 7) < 1, to szereg jest zbieżny, jeżeli zaś 7) > \, to szereg jest rozbieżny.

Dowód tej formy kryterium d’A!emberta jest taki sam jak w przypadku kryterium Cauchy’ego.

To kryterium także niczego nie daje, jeżeli się okaże, że 7) = 1.

Ciąg {^ł7)_b} nazywamy ciągiem d'Alemberta.

W przykładzie [77, 4)] widzieliśmy, że z istnienia granicy ciągu {<7)_n} wynika już istnienie granicy ciągu {G„}, przy czym obie granice są równe. Tak więc we wszystkich przypadkach, gdy kryterium d’Alemberta daje odpowiedź na pytanie czy szereg jest zbieżny, odpowiedź tę można otrzymać także za pomocą kryterium Cauchy’ego. Niżej zobaczymy na przykładach, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe i kryterium Cauchy’ego jest mocniejsze niż kryterium d’Alemberta. W praktyce jednak jest zwykle prościej posługiwać się kryterium d’Alemberta.

369. Kryterium Raabego. W przypadkach kiedy podane proste kryteria nie dają odpowiedzi, trzeba sięgnąć do kryteriów bardziej skomplikowanych, opartych na porównaniu badanego szeregu z innymi szeregami standardowymi, „wolniej” zbieżnymi lub „wolniej” rozbieżnymi niż szereg geometryczny (²).

(‘) Tutaj rozbieżność wynika też z niespełnienia koniecznego warunku zbieżności — wszak jeśli

^a"⁺¹ Js 1, czyli a.+i > a„, to a_n nie może dążyć do zera.

a,

(²) Porównaj [375, 7)].