0220

222

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

Jeżeli szereg ma sumę skończoną, to nazywamy go zbieżnym, w przeciwnym razie (tzn. gdy jego suma jest równa ± oo lub sumy nie ma wcale) nazywamy go rozbieżnym (^l).

Tak więc z definicji zbieżność szeregu (2) jest równoważna z istnieniem skończonej granicy ciągu sum częściowych (3). Na odwrót, jeżeli dany jest jakikolwiek ciąg {*„}, to sprawę istnienia skończonej granicy tego ciągu można sprowadzić do zbieżności szeregu

(4)    x_l+(x₂-x₁)Hx3-x₂)+ - +(^-x„-!)+ ....

którego sumami częściowymi są właśnie kolejne wyrazy ciągu

*!, x₂, x₃,.... x„,...

Suma szeregu pokrywa się przy tym z granicą tego ciągu.

Innymi słowy rozpatrywanie szeregu nieskończonego i jego sumy jest tylko nową formą badania ciągu i jego granicy. Ale forma ta, jak czytelnik zobaczy dalej, ma nieocenione zalety, zarówno gdy chodzi o samo stwierdzenie istnienia granicy, jak też i o jej obliczenie. Okoliczność ta czyni szeregi nieskończone bardzo ważnym narzędziem badawczym w analizie matematycznej i jej zastosowaniach.

363. Przykłady. 1) Najprostszym przykładem szeregu nieskończonego jest znany już czytelnikowi szereg geometryczny

a+aq+aq² + ... +aq’~¹+ ...

Jego sumy częściowe (gdy 9=#1) mają postać

_ a-aq’

j,-----.

1-9

Jeśli iloraz postępu q jest co do wartości bezwzględnej mniejszy od 1, to s„ ma granicę skończoną tzn. szereg jest zbieżny i s jest jego sumą.

Dla \q\ > 1 ten sam szereg służy za przykład szeregu rozbieżnego. Jeśli q > 1 suma szeregu będzie nieskończona, w pozostałych przypadkach sumy wcale nie ma.

Zwróćmy w szczególności uwagę na ciekawy szereg, który otrzymujemy w przypadku a = 1,9 = = -1:

1-1 f 1-1 + ... - l+(-l)+l+(-l)+ ... (²).

Sumy częściowe tego szeregu są równe na przemian 1. i 0.

2) Liczba rzeczywista <x rozwinięta w nieskończony ułamek dziesiętny:

C₀, C, Ci Ci ... c, ...

[9] jest rzeczywiście sumą szeregu

c₀-

10

10^ł 10*

10"

+ ...

(') Mówiliśmy już o tym w pierwszym tomie [25,9)].

O Jeżeli jakiś wyraz a szeregu jest liczbą ujemną: a = —b, gdzie 6>0, to zamiast pisać ...+(—6)+... piszemy ... — b+... Podkreślamy, że wyrazem szeregu jest tu —b, nie zaś b.