0330

332

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

jeżeli |x'| jest znowu małą liczbą zawartą między 0 a 1, zastosować przekształcenie

o ___„ ,

n-

= a-(l+*')-'

a następnie zastosować szereg dwumienny dla m = — 1 lk.

Jako przykład obliczymy z dużą dokładnością ]/2 biorąc za punkt wyjścia wartość przybliżoną 1,4. W tym celu przekształcimy pierwiastek według jednego z podanych schematów

^ l/iF - ¹""    - ‘■⁴- (¹⁺ ir)“‘

-(-wr

albo

1.4

1,4

1,04

2

Dla uproszczenia rachunków naturalniej jest wybrać drugą drogę. Mamy więc

i/2=14(l+-___L+JL._!_ + J___1_.    +    ___!_, \

^    ’⁴\^{1 +} ₂    50 ⁺ 8    50^{2 +} 16    50*    128    50^{4 +} 256    50*    /’

Ograniczymy się do wyrazów już napisanych, wszystkie one są skończonymi ułamkami dziesiętnymi

^{l+ +} TT W"

35

1

128    50*

= 0,00000004375

63

1

256    50*

= 0,0000000007875

1,0101525445375-1,4 = 1,41421356235250.

Ponieważ współczynniki przy potęgach 1/50 maleją, błąd można oszacować jak zwykle:

A < 1,4-

231

1024-50*

¹⁺-»⁺7k⁺

...) =

1    1024

,4-231    1,1

50*-49    10“

Dlatego

1,414213562352 < ^2 < 1,414213562373, }/l = 1,4142135623 ...,

wszystkie dziesięć cyfr po przecinku są pewne. Korzystąjąc z przekształcenia

-1/2

tnnżna łatwo otrzymać znacznie więcej cyfr. Przytoczymy jeszcze kilka przykładów takich przekształceń, pozostawiając obliczenia za pomocą szeregu dwumiennego czytelnikowi:

ó)"'\ ''^ir-f(^,~i5rr-