0324

326

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

Jest ono prawdziwe, rzecz jasna, także dla wyłączonych poprzednio wartości x = 0, ±n, ±2n.....

gdyż wówczas obydwie strony równości są równe zeru. Łatwo zauważyć, że poszczególne czynniki odpowiadają właśnie różnym pierwiastkom sin x (‘).

Jeżeli w otrzymanym rozwinięciu podstawimy x = -y 7t, to otrzymamy

skąd wynika znowu wzór Wallisa [317; porównaj też 400, 2)].

Podamy jeszcze jedno interesujące zastosowanie tego rozwinięcia, które przedstawimy — po zastąpieniu x przez izx — w postaci

sin nx = nx

Przypomnijmy sobie definicję funkcji r(x) [402, (13)]

- (l+±)

w-trfl¹——

.-7    1+ —

n

i związek r(x+l) = xr(x) [402, (15)]. Jest wobec tego

ra-A:) = -x-r(-x) = fj

K)'

Mnożąc dwie równości przez siebie, otrzymujemy od razu wzór redukcyjny

(30)    fW-fd-r)^,

sin nx

również znaleziony przez Eulera. Jest on słuszny dla wszelkich niecałkowitych wartości x (¹). Podobnie jak rozwinięcie sin x wyprowadza się rozwinięcie:

«-l    n-l I    I-1—7T I

\    \ 2    ;

w którym występują pierwiastki ±    (2n— 1) n: funkcji cos x. Zresztą można by je otrzymać z rozwinię

cia sin x według wzoru

i x = sin (-A- n — jr)    albo cos x =

sin 2x

2 sin x

Wspomnimy jeszcze na zakończenie o rozwinięciach

mCC /

(W

1 -I—j-j-J ,    coshx = li +

a-l    ’    «-l    ¹

które także można otrzymać za pomocą podobnych rozważań.

1

Co do możliwości przestawiania czynników patrz 402, 4).

(²) Podstawiając tutaj x = y otrzymamy w szczególności, że [Z¹ (y)]² = n. Ponieważ dla ¹>0 jest także r(x)>0, wiec r (-’-) = j/rc .