0236

238

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

Kryterium d’Alemberta nie da się do tego szeregu zastosować, bo

_    (2 n-1)²

^CA

2n (2n+l)

1

(i przy tym ^<2>„<1). Utwórzmy ciąg Raabego

rp _ _ / 2n (2n+l)

(2n— l)²    V"

(6/1—1) n (2n—l)²

Ponieważ T2 = lim ^CK„ = — >1, szereg jest zbieżny.

(b) £

(*+l)(jr+2) ... (x+n)

(x > 0) .

Ponieważ 'Z>„ =

n+1

x+n+1

, Q = 1, to tutaj też nie można stosować kryterium d’A!emberta. Dalej

jest =

n+1

x, a więc = x. Tak więc dla x<l szereg jest rozbieżny, a dla x>l — zbieżny. Dla

x — 1 otrzymujemy rozbieżny szereg harmoniczny (bez pierwszego wyrazu).

°°    nl x*

(c) V -7—-——rr—^—r-;--—- , gdzie x>0 i ciąg {«„} o wyrazach dodatnich ma granicę

£1 (x+a,)(2x+a₂) ... (nx+a.) ’ ^B    1 J

skończoną a.

na.+i

Mamy ⁽D„ =

■,92—alx. Tak więc dla x<a sze-

(n+1) x

(n+1) jc+o.+i ’    (n+1) x

reg jest zbieżny, a dla x>a — rozbieżny. O przypadku x — a nie można powiedzieć nic ogólnego. Zachowanie się szeregu zależy wówczas od sposobu przybliżania się a, do a.

(d) Rozpatrzymy wreszcie szereg

Dla tego szeregu

-1

(^,+i)

Aby obliczyć granicę, zastąpimy to wyrażenie ogólniejszym:

— [-2— --1| (*-*•<)),

* L(l+*)‘^/x    J

do którego można zastosować metody rachunku różniczkowego. Według reguły de L’Hospitala przejdziemy do stosunku pochodnych.

1(1+*)

£--{'

*)^l/ł]²    l

(l+j<r)‘^+In (1 +jt)-    + -j(l+*)’"'-^

ln <1 +ar)—

1+JC

1    X

Podstawiając ln (1 +x) = x—^ x²+o (x²),    —

nicę równą \. Szereg jest rozbieżny.

J (1+*)¹"    x²

x—x²+o (x²), otrzymujemy od razu szukaną gra-