0228

230

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

Ponieważ jest [77, 5) (a)]

lim

N-» 99

= 1 ,

wynika stąd rozbieżność szeregu harmonicznego.

Inaczej, stosując do funkcji ln x w przedziale <«, « +1) wzór Lagrange’a, otrzymujemy

1

In (/i+l)—In n =

«+0

(0 < 0 < 1).

W takim razie szereg harmoniczny, którego wyrazy są odpowiednio większe, jest tym bardziej rozbieżny (twierdzenie 1).

S) Analogicznie można stwierdzić ponownie zbieżność szeregu ^ ^(dla <r>0) porównując go ze zbieżnym szeregiem

•-i

Stosując wzór Lagrange’a do funkcji l/** w przedziale <«—1, n> znajdujemy

1___1_= °

(«-1)" n^a {n-6)^u

Tak więc dla n > 2 jest

(0 < 0 < 1) .

—< — f----—1

a [(„-i)"

skąd na mocy twierdzenia 1 wynika zbieżność badanego szeregu.

6) Aby podobną metodą otrzymać nowy wynik, rozpatrzmy szereg ^ - — • (którego wyrazy są

jeszcze mniejsze od wyrazów szeregu harmonicznego).

Porównamy go z rozbieżnym w widoczny sposób szeregiem

jr [ln ln (n+1)—ln In n].

Stosując wzór Lagrange’a do funkcji ln ln x w przedziale <n, n+l> otrzymujemy

1

In ln (n+1)—ln ln n = ■

(0 < 0 < 1),

(n+0) ln (n+0)

skąd na mocy twierdzenia 1 wnosimy, że dany szereg, którego wyrazy są odpowiednio większe jest tym bardziej rozbieżny.

7) Porównanie z szeregami harmonicznymi 4) i 5) pozwala zbadać zachowanie się wielu szeregów* Na mocy twierdzenia 1 szereg:

(a)

CO

2

i

(»)I!

i yw+i)

i

jest rozbieżny, bo

jest zbieżny, bo

1

1

^n(n+l)    "+1

j/n(n^J + l) "

3/2