0230

232

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

00 . .

(b) 2_j ("^ln 2n— 1—* ) ' ^TutaJ ^też posłużymy się wspomnianym rozwinięciem log (1+*), otrzy-

R-l

mamy

(i +    —2--J.    -1    p. f_2_V.

2n — 1    \    2/i— 1 /    2//-1    2 \2n-l )    3 \2n-l ) ^H \2n-l ) ’

gdzie p. -f 0, gdy n -*• oo, tak że

2n+l .    2n+3

n ln-

2/i— 1

3 (2/r

h3_ / I \^ł , „ .    8/. (_J_V

-1) \ 2/1-1/ ^+P’ 2/i— i \ 2n-l/ '

1

1

Tak więc stosunek wyrazu ogólnego badanego szeregu do ^n—])² ma granicę-^— szereg nasz jest zbieżny.

10) Rozpatrzmy wreszcie szereg V j--ln-1.

... ⁿ ’

Wiemy [133, 4)], że

ln(l+j:)<jf (jc =£ 0,    —1<jc<+oo).

Korzystając z tej nierówności możemy napisać

_ln"±i _{= ln}(_l+_L\<J_

n    \ n / n

i równocześnie

In -£LŻJ_ = —ln —---—ln (i--

n    //+1    \ /i+l / /i+l

Dlatego

0 < — -ln^±i- <_L - ¹

¹

// n /i+l /i(/i+l)    /i²

Tak więc wyrazy danego szeregu są dodatnie i mniejsze od odpowiednich wyrazów zbieżnego szeregu

-4- [363, 2)], a zatem dany szereg jest też zbieżny.

^2—1 n

Jeśli oznaczymy jego sumę przez C, to sumy częściowe

E (t ~^In nP^-)⁼H-~^{ln in+}0 **^C;

przez H, oznaczyliśmy jak zwykle sumę częściową szeregu harmonicznego. Można tu zastąpić ln (n+1) przez ln/i, gdyż ich różnica równa ln ^1 + dąży do zera. Ostatecznie otrzymujemy ciekawy wzór

H. = ln n+ C+y.,

gdzie y. 0, Wzór ten pokazuje, że przy wzrastaniu » suma częściowa H, szeregu harmonicznego rośnie tak jak In n.

Występująca we wzorze (4) stała C nazywa się stalą Eulera. Jej wartość liczbowa, którą udaje się obliczyć z innych rozumowań, wynosi

C=0,57756621490...