0326

328

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

których sumy są odpowiednio równe - j tc i ln 2. Aby obliczyć te liczby za pomocą tych szeregów, powiedzmy z dokładnością do 1/10*, trzeba by wziąć pięćdziesiąt tysięcy wyrazów pierwszego szeregu i sto tysięcy wyrazów drugiego; można by to zrealizować tylko za pomocą szybko liczących maszyn.

Niżej obliczymy bez specjalnych trudności obie wspomniane liczby i to nawet z większą dokładnością, skorzystamy jednak z szeregów odpowiedniejszych do obliczeń.

410. Obliczenie liczby n. Skorzystamy ze znanego rozwinięcia funkcji arc tg x [400 (15)]

arc tg* = x—~ + —---^j- + ...    (—1 < x < 1).

Jeśli weźmiemy x = l/j/3, to będzie arc tg x — ■- ir i otrzymamy szereg

6 j/r (‘    3    3 ⁺ 5    3¹    7    ₃3 ⁺

który już nadaje się do rachunków. Weźmy wzór na dodawanie

x+y 1 —xy

arc tg x -f- arc tg y = arc tg

(prawdziwy w tej postaci tylko przy założeniu, że suma kątów nie przekracza co do bezwzględnej wartości ~ tc [50]) i wybierzmy jako x i y dowolne liczby dodatnie mniejsze od jedności i spełniające zależność

-^±£- = 1, czyli    (*+1) (y+1) = 2.

1— xy

Będziemy wówczas mieli

—■ = arc tg jc+arctgy =    ^~ + ''')'

Podstawiając na przykład x = 1/2, y = 1/3, otrzymujemy

= (Jl_ J___L 4-.L._i__\ . /J__ JL. L+L. J__ \

4    \ 2    3    2³    5    2⁵    "7    \ 3    3    3³    5    -3⁵

Istnieją jednak szeregi jeszcze wygodniejsze do obliczenia liczby tc. Weźmy na przykład ać = arc tg y

wówczas

_2_

tg* = 4-» tg 2* =-L__ = J_r> tg 4a =

5    i__L 12

2S

10

12

1-

25

144

120

119

Wobec tego, że liczba ta jest bliska jedności, jasne jest, że kąt 4a jest bliski ■— tc. Wprowadzając kąt fi =

= 4 a —

j tc mamy

t&fi =

120

119

i+J?o 239

119

czyli fi = arc tg

239

Stąd

,c = i6ot-4fi = 16 -------L + JL . J--_^!---L ₊ J---^ł---!----U + \ _

^H \ 5    3    5³    5    5⁵    7    5⁷    9    5» U 5“    /

\ 239    3 293³    /

Jest to wzór Machina.