0300

302

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

Granica sumy częściowej

I w    p

u*.«.....p ⁼ ^ ^ ••• ^    ...»t»

1=1 *=1 1=1

gdy n -*■ oo, m -* oo—► oo, (skończona lub nieskończona) nazywa się sumą szeregu. Szereg nazywa się zbieżny, jeżeli ma skończoną sumę.

Najważniejszą klasą szeregów wielokrotnych są szeregi potęgowe wielu zmiennych

00

.......i*v... z¹.

I.k.....1=0

Na szeregi wielokrotne przenoszą się także pojęcia i twierdzenia wyłożonej wyżej teorii.

§ 6. Iloczyny nieskończone

399. Pojęcia podstawowe. Jeżeli

(1)    Pl, Pl, Pit Pm •••

jest pewnym danym ciągiem liczb, to utworzony z nich symbol

00

(2)    PlPlPi • - -Pn- ••• = /7^‘)

n»l

nazywa się iloczynem nieskończonym

Będziemy kolejno mnożyli liczby (1) tworząc iloczyny częściowe (3)

(3)    Pl = Pl, Pl = PlPl, Pi = PlPlPi,    P_H = PlPlPi- Pn, -

Ten ciąg iloczynów częściowych {P„} będziemy zawsze przyporządkowywali symbolowi (2). Granica P iloczynu częściowego P_n, gdy n -* oo, skończona lub nieskończona:

P = lim P„

nazywa się wartością iloczynu (2). Piszemy

00

P = PlPl' - Pn - = fi Pn-

Jeżeli iloczyn nieskończony ma wartość skończoną P i do tego różną od zera, to iloczyn nieskończony nazywa się zbieżny, w przeciwnym razie nazywa się rozbieżny (²).

0) Spotkaliśmy już takie oznaczenie iloczynu, ale tylko dla skończonej liczby czynników.

O Tak więc (podkreślamy to specjalnie) jeżeli P — 0, to iloczyn nieskończony jest dla nas rozbieżny. Chociaż terminologia ta różni się od terminologii przyjętej dla szeregów nieskończonych, jest ona ogólnie przyjęta, gdyż ułatwia wysłowienie wielu twierdzeń.