0242

0;

0;

244

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

Tym razem

1

a (In ln x)^a

/« =-!--_F(_X)

at In jr (In In x)^t+a ’

szereg jest zbieżny.

Funkcję pierwotną F(x) można wziąć także w postaci całki oznaczonej

FM-

1

Granica tej całki, gdy x -» + co, nazywa się „całką od 1 do +oo” (*): oznacza się ją zwykle tak:

F( + oc) = Jf(t)dt.

Tak więc podany szereg (7) jest zbieżny lub rozbieżny w zależności od tego, czy całka ta ma wartość skończoną czy nieskończoną (²).

W tej postaci kryterium całkowemu można nadać łatwo interpretację geometryczną bliską ideom Maclaurina. Jeśli przedstawimy funkcję f(x) za pomocą krzywej (rys. 54),

to całka F(x) będzie wyrażała pole figury ograniczonej przez tę krzywą, oś x i dwa odcinki pionowe. Całkę F(+ x) można w pewnym sensie uważać za pole całej rozciągającej się w prawo w nieskończoność figury zawartej pod krzywą. Z drugiej strony wyrazy n,, a₂, ... ...,a_n, ... szeregu (7) podają wielkość rzędnych w punktach x = 1,2, ... ,... lub co na to samo wychodzi pola prostokątów o podstawie 1 i wysokościach równych wspomnianym rzędnym.

Tak więc suma szeregu (7) nie jest niczym innym jak sumą pól prostokątów wystających poza wspomnianą figurę i tylko o pierwszy wyraz różni się od sumy pól prostokątów leżących wewnątrz figury. Staje się przez to zupełnie oczywisty otrzymany wyżej wynik; jeżeli pole figury krzywoliniowej jest skończone, to tym bardziej jest skończone pole zawartej w niej figury schodkowej i dany szereg jest zbieżny. Jeżeli zaś pole figury krzywoliniowej jest nieskończone, to jest także nieskończone pole zawierającej ją figury schodkowej, a więc w tym przypadku szereg jest rozbieżny.

O Jest to tak zwana całka niewłaściwa', takimi całkami zajmiemy się w rozdziale XIII.

(²! Przy takim sformułowaniu kryterium dowód można łatwo przeprowadzić bez założenia ciągłości funkcji f(x) korzystając z całki oznaczonej, która dla funkcji monotnicznej istnieje [298, III].