0322

324

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

Jeżeli oznaczymy przez u_it u₂, ..., w„ pierwiastki tego wielomianu, to możemy go w następujący sposób rozłożyć na czynniki:

P(u) = a (u—Ui) ... («-»„) = a{\~    ... ^1- j-j .

Pierwiastki u_t, u₂,..., u, łatwo będzie wyznaczyć z (25), jeśli zauważymy, że gdy dla danego z sin (2/t+ l)r jest zerem, a sin z jest różny od zera, to sin²z musi być pierwiastkiem wielomianu P (w). Oczywiście wartościom z = 2n\-l ’ ^ in+1    ~2n+1 ^zawarty^m między 0 a -*■ r w kolejności wzrastania odpowiada

ją również wzrastające (a więc różne) pierwiastki

Ui — sin²

7C

2/t+l ’

u₂ = sin² 2

7T

2n+l

Un

= sin²//

2/t + l '

Wreszcie współczynnik A = P (0) wyznaczamy jako granicę stosunku sin (2//-•-1) zjsin z, gdy :-+0, a więc A — 2/t+l.

Otrzymujemy więc wzór

sm^z

sin (2/t+l) z = (2//+1) sin

2/i+ł /

Podstawiając z = x/(2n+l) napiszemy go w postaci

(26)

sin x = (2/t+l) sin

2//+1

!-■

2//+1

1-

2/t+l

2/?+l

2«+1

Będziemy teraz uważali, że x jest różne od 0, ±jr, ±2ir,..., tak że sin jr--0. Weźmy liczbę naturalną k spełniającą warunek (k+1) tc>1jt| i niech będzie n>k. Przedstawimy teraz sin x jako iloczyn

(27)    sin x=V™-V™,

gdzie

U™ = (2/t+1) sin —— | 1 ‘    2/t+l ¹

2/t+l

1-

2/t 4 l

2/t+l

sin²śr -

ź/t-r i

zawiera tylko k czynników w nawiasach, a

sin²

Pj"> = I 1

2/t + l

2/t+ I

sin²(k+1)

2/t+l

2/t+l

obejmuje wszystkie pozostałe.

Niech na razie k będzie ustalone: łatwo znaleźć granicę wyrażenia (/^<n,przy /? —co, gdyż składa się

k

ono ze skończonej liczby czynników. Ponieważ

n-»oo

lim (2/t+l) sin—-— = .v 2/t-r 1