0332

334

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

Przejdziemy teraz do dowodu, że R_p(x) dąży do 0, gdy p -*■ oo.

Zastępując różnicę A^pa_k według wzoru (4) i zmieniając kolejność sumowania otrzymujemy

^ “ (Tf^EŻ¹(f»■*' E¹<-

k-0    (-0    1-0    *-0

Jeżeli resztę szeregu wyjściowego (3) oznaczymy przez

r*(x) = £ (- l)‘⁺"c*₊. *‘⁺" (n = 0, 1,2, ...),

k-0

to R_p(x) możemy ostatecznie napisać w postaci

Ź (f) x'r_p-,(x)    £ (f) x^,~^,r,(x)

*,(x) =

(1+JC)"

Ponieważ r.(x) -*■ 0, wynika stąd na mocy twierdzenia 5° z ustępu 391, że także R_p(x) 0, gdy p oo. Przechodząc do granicy w równości (5) otrzymujemy

“ « “ TT7 [°°-^A‘-7T7    (itr)’ - -    {lk)'⁺ ] ■

Podstawiając tu zamiast S (x) wyrażenie (3) otrzymujemy wzór na przekształcenie Eulera:

(6)

p-0

Najczęściej stosuje się to przekształcenie dla x — 1; wówczas przekształca ono szereg liczbowy w szereg liczbowy:

(7)

k-0    p-0

414. Przykłady

1) Przyjmijmy a_t = 1 l(z+k), gdzie z jest dowolną liczbą stałą różną od 0, —1, -2, -3, ... Szereg

y (-D*

Z_l z+k

k-0

jest po odrzuceniu dostatecznej liczby wyrazów początkowych szeregiem naprzemiennym, jest więc zbieżny.

Łatwo obliczyć kolejne różnice Aa_k, A²a_k,... i metodą indukcji matematycznej stwierdzić, że

A’a_k = (-1)’

Pt

(z+k) (z+k+1) ... (z+k+p) ’ w szczególności

A’a₀ = (-1)'—-Sl-

z(z+l) ...(zfp)

Tak więc według wzoru (7) jest

oo    oo

(r+1) ... (z+p) '

Y¹ (-D* . y i___

P-0

Z_I z+k Zj 2»+^ł    z