0294

296

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

Tożsamość z poprzedniego ćwiczenia otrzymuje się stąd dla b_m — 1, tzn. gdy {x)g =    ■ - .

8)    Szereg

00

I,fc-0

00 00

powstaje z pomnożenia szeregów ^ x‘ i ^ y*, które są bezwzględnie zbieżne dla |x| < 1 i |y| < 1. Dla tych

l-o a-o

wartości jest też bezwzględnie zbieżny szereg podwójny. Jeżeli |x| >1 lub |y| >1, to nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności — wyraz ogólny nie dąży do zera. Szereg jest więc rozbieżny. Łatwo sprawdzić bezpośrednio, że szereg jest również rozbieżny, jeżeli |x| = I lub |y| = 1.

9)    Rozpatrzmy szereg

00

k^f

(« >0, fi > 0) .

00    00

Ten szereg także powstaje z pomnożenia szeregówi^l/kP, które są zbieżne dla <x>l i /3> 1, jest

i-i    *«i

więc przy tych założeniach zbieżny.

Jeżeli natomiast « < 1 (lub fi < 1), to szereg podwójny jest na pewno rozbieżny, bo wtedy są rozbieżne szeregi z wierszy (kolumn) (porównaj wniosek w poprzednim ustępie).

10) Zbadać zbieżność szeregu

V-⁵- (<r > 0).

W tym celu przedstawimy go w postaci zwykłego szeregu, porządkując wyrazy po przekątnych. Wyrazy leżące na jednej przekątnej są równe, łącząc je więc dla wygody, otrzymujemy szereg

-zn < /i—1 < /r, 2

Wobec oczywistych nierówności otrzymujemy, dzieląc przez n",

4- ■ —L- < (»- ,)• — < —

Jasne jest stąd, że otrzymany szereg zwyczajny jest zbieżny dla a >2 i rozbieżny dla o < 2. W myśl twierdzenia 7 tak samo jest z szeregiem podwójnym.

11) Rozpatrzmy teraz ogólniejszy szereg

V--- (P > 0),

“ (Ai²+2Bik + Ck²)<²

gdzie forma Ax²+2Bxy+Cy² jest z założenia określona dodatnio, a więc A = AC—B²>0 oraz A>0 i C>0.

Jeżeli oznaczymy przez L największą z liczb A, B, C, to będzie oczywiście

Ai²+2Bik+ Ck² < L(i+k)²,    ai“»> —-----.

L^f (i+k)²'

Jasne jest w takim razie r.a podstawie 10), że dla p< 1 szereg nasz jest rozbieżny.