0302

304

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

W szczególności dla <p = it/2 otrzymujemy rozwinięcie

2    n    it    rt

— = cos —cos — ... cos -n    4    8    2*^+I

Jeżeli przypomnimy sobie, że

^cosT⁼V^’ * ^cosy ⁼ \/\ ⁺ j^cos* •

to rozwinięcie to możemy napisać w postaci (F. Vieta). Wzór ten wraz ze wzorem Wallisa były pierwszymi przykładami iloczynów nieskończonych w historii analizy matematycznej.

5)    W ustępie 315 (10) ustaliliśmy dla zupełnej całki eliptycznej I rodzaju wzór

K (*) - 1 TC lim 1(1+*,) (1 +k₂) ... (1 +*„)],.

^    «-*0O

gdzie ciąg (k.) jest określony wzorem redukcyjnym

*. =    (*o = *).

Wzór ten daje rozwinięcie K(k) w iloczyn nieskończony

*<*> = 7* /70+śr.).

*•1

6)    Rozpatrzmy jeszcze iloczyn nieskończony

n

■-i H--

W tym wypadku iloczyn częściowy ma postać

Pn -

n+i

piD.+c+y,

n+1

-2—e^ce*', n+1

gdzie C jest stałą Eulera, a y, -> 0 [367 (4)]. A więc iloczyn nieskończony jest zbieżny i jego wartość wynosi

P = e^c

401. Twierdzenia podstawowe. Związek z szeregami. Odrzucając w iloczynie nieskończonym (2) m pierwszych wyrazów, otrzymujemy iloczyn

(4)

— Pm+1 'Pm+2 ' ••• 'Pm+k ’

= fi P»’

n«m+l

który jest zupełnie analogiczny do reszty szeregu nieskończonego.