0278

280

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

są bezwzględnie zbieżne dla każdego x. Przez mnożenie szeregów można udowodnić związki

C(rły) = C (jt)-C (y)—S {x)-S (y),

S(*+j) = SW-CWłCW-SW.

Ponieważ funkcje S(x) i C(x) nie są niczym innym, jak funkcjami sin x i cos x [404] poznajemy w tych wzorach znane twierdzenie o cosinusie i sinusie sumy.

8) Rozpatrzmy wreszcie szereg

‘«-Z±

a—1

o wyrazach nieujemnych, który jest zbieżny dla jc> 1 [36S, 2)] i przedstawia funkcję £ Riemanna. Obliczymy jej kwadrat mnożąc szereg przez siebie.

Wszelkie możliwe iloczyny

J___1    1

n^x in*    (n • m)^x

uporządkujemy teraz w ten sposób, aby wyrazy z tą samą liczbą k = n • m w mianowniku stały obok siebie, a następnie pododajemy je. Każdej liczbie k będzie odpowiadało tyle równych wyrazów, ile dzielników ma liczba Ar, tzn. r (A;). A więc ostatecznie

r (Ar) k^x

00

EW]³ =

391. Ogólne twierdzenie z teorii granic. Dla uproszczenia wykładu, w najbliższym ustępie i w następnych, udowodnimy tu pewne twierdzenie z teorii granic dające daleko idące uogólnienie znanych twierdzeń Cauchy’ego i Stolza [33]. Twierdzenie to należy do Toeplitza. Udowodnimy je w dwóch krokach. I. Załóżmy, że współczynniki t,_m (1 < m < ń) nieskończonej macierzy trójkątnej

tu

tu tu tu tu t₃₃

(15)

tul t_n2 /„3 ... t_mn

czynią zadość dwom warunkom:

(a)    elementy stojące w dowolnej kolumnie dążą do zera'.

0, gdy n-»■ oo (m ustalone);

(b)    sumy bezwzględnych wartości elementów dowolnego wiersza są wszystkie wspólnie ograniczone jedną i tą samą stalą:

|f»il + |t»2l+ ••• +|f«il < K (K = const).

Wówczas, jeśli {*„} jest ciągiem dążącym do zera, to dąży także do zera ciąg o wyrazie ogólnym

x’. = t,i *, + /„z x₂+ ... +/„ x_n ,

utworzony z wyrazów ciągu wyjściowego za pomocą współczynników macierzy (15).

Dowód. Do danego e>0 znajdzie się takie m, że dla n>m będzie |x,|<e/2K. Korzystając z (b) otrzymamy dla tych n nierówność

\x'.\ < |r,i *!+ ... +/«. xj + y e.