0292

294

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

Tutaj skorzystaliśmy znów z wzoru (II) dla * m— \_yp = m. Suma pozostałych wyrazów w-tej kolumny wynosi

00

i (

30

-2-

<m— 1)!

(ot—I)!

i(/ f 1) ... (i+/n)    i—i (m+«) (ff»-f n+1) ... (2»i+l) m (m-t-1) ... 2m

t—m+i    n—l

(w (11) bierzemy x = p = m). Ostatecznie okazuje się, że suma wyrazów m-tej kolumny jest równa

₇    (m-1)!__[(;»— 1 )!]²

m [m+1) ... (2m— 1) 2m    (2m)!

Przyrównując na mocy twierdzenia 3 sumy obydwu szeregów iterowanych otrzymujemy ciekawą równość

03)    y » ₃y [(—w .

Z_i k¹ Zj (2m)!

Ponieważ szereg po prawej stronie jest bardzo szybko zbieżny, ułatwia on przybliżone obliczenie sumy szeregu po lewej stronie. Co więcej, zobaczymy dalej [440, 7], że wyprowadzony związek pozwala wyrazić sumę pierwszego szeregu w postaci skończonej; jest ona równa —7t². Wynik ten należy do Eulera. S) Zatrzymamy się na szeregu Lamberta

*^{w =} S^fl‘7^’

kml

ograniczając się do x spełniających nierówność |x| < 1. Widzieliśmy [38S, 5)], że przy tym założeniu szereg Lamberta jest zbieżny dla tych samych wartości x co szereg potęgowy

/(*) = X «* x*.

t-i

Załóżmy też, że promień zbieżności tego szeregu R>0 [379] i będziemy uważali, że |x|<ił.

Oczywiście

= x*+x“+ ... +x“+ ...

1—x*

Utwórzmy teraz macierz z tych wyrazów pomnożonych przez a_k umieszczając jednakowe potęgi x w jednej kolumnie (puste miejsca można zapełnić zerami)

	o«x*	a iX^9	atx^l°
	«zx*	a3x^9	a2x'°
	a4x^8		asx'°
C7X^7	oax*	a9x^9

n v'® ”10-*

a_tx OjX² a_ix¹

OiX^3	atx*	C,x^3
	a2x*		a2x*
<JjX^3	a4x*	a$x^s	fljX^6

o«x⁶

Szereg i terowany sumowany według wierszy ma właśnie sumę <p (x). Ponieważ szereg potęgowy, a wraz z nim szereg Lamberta, jest zbieżny po zastąpieniu x przez |x| i a_t przez |a»|, można zastosować