0288

290

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

i dla niej utworzymy szereg podwójny

(io*)    jr k

«)

I, k-1

Podobnie jak twierdzenie z ustępu 377 o szeregach zwykłych zachodzi także tutaj następujące:

Twierdzenie 6. Jeśli jest zbieżny szereg (10*) utworzony z bezwzględnych wartości wyrazów danego szeregu (10), to dany szereg jest także zbieżny.

Dowód. Przedstawmy a^(k) w postaci

_<*> _ _<*> _<*) Ol = Pl ~fll :

gdzie

<Ł) _

Pi--2    ~

_(*> _ Io_t | — a_t

q_t--j-

Ponieważ p\^k) < | a^(k) |, q_t^m <| a⁽(^k) |, przeto ze zbieżności szeregu podwójnego (10*) wynika zbieżność szeregów podwójnych

i, fc-1    t, k-1

Ale wówczas jest zbieżny także szereg

i, k-l

t. k-1

i>i“. śipf-ł!")

i ma sumę

A = P-Q.

Jeżeli wraz z szeregiem (10) jest także zbieżny szereg (10*), to szereg (10) nazywa się bezwzględnie zbieżny. Jeżeli zaś szereg (10) jest zbieżny, a szereg (10*) rozbieżny, to szereg (10) nazywa się zbieżny warunkowo.

Udowodnimy teraz twierdzenie o związku między szeregiem podwójnym (10) i zwykłym szeregiem (6) składającym się z tych samych wyrazów. Jest ono analogiczne do twierdzeń 1 i 2.

Twierdzenie 7. Niech będą dane: szereg podwójny (10) i szereg zwykły (6) złożone z tych samych wyrazów. Wówczas zbieżność bezwzględna jednego z nich pociąga za sobą również bezwzględną zbieżność drugiego i równość ich sum.

Dowód. Załóżmy najpierw, że jest zbieżny bezwzględnie szereg (10), tzn. szereg (10*) jest zbieżny. Sumę szeregu (10*) oznaczymy przez A*. Biorąc dowolną liczbę naturalną r utworzymy sumę częściową

U* = |«i| + |u₂|+ ... +|u_f|

szeregu (6*). Tak samo jak w dowodzie twierdzenia 2, łatwo stwierdzić nierówność t/* < < A a wraz ż tym zbieżność bezwzględną szeregu (6).