0352

354

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

W dalszym ciągu przyda nam się często następujący związek między współczynnikami dwumianu Newtona:

Łatwo go udowodnić metodą indukcji zupełnej wychodząc ze znanej tożsamości

(,«_{) = +}

Przede wszystkim wykażemy, że metody Cesary wszystkich rzędów są szczególnymi przypadkami me-

I, bo z (14) wynika wówczas, że P, =

=    ¹ ponadto oczywiście

1

nĄ k

-£sl, P.

oo .

■ 0, gdy

Za pomocą tej samej równości (14) stwierdzamy na podstawie samej definicji wielkości S. , że

(15)    +    ... +5‘^1-1> = SJ‘>(‘).

Pozwala to wykryć wzajemny związek między metodą sumowalności Cesary rzędu k i rzędu Jfc— 1. Niech szereg (A) będzie sumowalny metodą rzędu Ar—1, tzn. y**'¹’ -► A. Na mocy wzorów (14) i (15) mamy

_ST _ Ą»-»+ay»+...+s_r» _ C:;)yr»+(_t!₁)yr>+...+(^¹)yr^>

* (?) (?) (?)

Stosując tutaj twierdzenie Toeplitza, w którym przyjmujemy

= i ł.» = -4^V-    («¹ = 0.1.....»),

(?)

dojdziemy do wniosku, że y‘^ł> -¹• A. Zatem jeżeli szereg (A) jest sumowalny metodą Cesary jakiegoś rzędu, to jest sumowalny także każdą metodą wyższego rzędu i daje tę samą sumę uogólnioną.

Podamy teraz uogólnienie znanego nam już twierdzenia Frobeniusa [421].

Jeżeli szereg (A) jest sumowalny którąkolwiek z metod Cesary (powiedzmy rzędu k), to jest on sumowalny do tej samej sumy także metodą Poissona-Abela.

Załóżmy, że

5“’

(16)    lim y^,k> = lim —-— = A .

~ ' - (?)

Łatwo stąd wywnioskować, że szereg

(17)

0

jest zbieżny dla — 1 <jr< 1. Rzeczywiście, ponieważ ("**) ~ — , więc z (16) otrzymujemy

k\

1

Sl^0> oznacza A_m.