skanuj0011 (270)

\.2. Szeregi liczbowe 73

Twierdzenie 4.57. (kryterium Leibniza¹ zbieżności szeregów). Niech (a_n)~₌₁ C I, a_n ) 0 i niech a_n będzie ciągiem malejącym i zbieżnym do 0.

oc

Wtedy szereg X (—l)ⁿ a_n jest zbieżny.

n= 1

Przykład 4.58. Rozważmy szereg X • Ciąg a,_n — jest malejący oraz

n=1

1    ,22, (— i')ⁿ

-» 0. zatem szereg X j^est zbieżny. Szereg ten jest jednak zbieżny tyl-

°o    o° .    . _n

ko warunkowo, ponieważ szereg X ~7= jest rozbieżny, a zatem szereg X ~ X

i Vⁿ    -t V™

n=1    n~l

nie jest bezwzględnie zbieżny.

⁰⁰ i

Przykład 4.59. Rozważmy szereg X]    w którym x jest dowolną liczbą

n= 1

rzeczywistą. Możemy zapytać, dla jakiej wartości x ten szereg jest zbieżny. Zbadajmy zbieżność szeregu X]    ⁼ X ^\^x\ⁿ> korzystając z kryterium

n= 1    n=1

d^!Alemberta.

l_im (n⁽"t)‘7i M"⁺¹ ₌ lim n!(n+ 1)|.t|"⁺¹ _ nⁿ ₌ n-+oc ^r|x|ⁿ    n^oo (n + l)ⁿ(n + 1) n!|x|ⁿ

i- nⁿ\x\    \x\    ..    |.x|    |x|

— lim - = lim - = lim - = —

n—>oo (77, -(- l)ⁿ    n—>oc (ⁿ+ i)ⁿ    n—>oc (1 -|- T)ⁿ e

.    oc    oo

Jeśli C < 1, tzn. x £ (—e, e), to szereg XI    jest zbieżny, czyli X

n=l    n=l

jest bezwzględnie zbieżny, a zatem zbieżny. Jeśli x 6 (—oc, —e) U (e, +oo), to ⁰⁰ !

szereg X jest rozbieżny. Zbadajmy zbieżność szeregu dla x = e, czyli

n=l

⁰⁰ n

szeregu X yjl^-- Zastosujemy wzór Stirlinga². Wtedy

n=l

— v27rn,

n\e n e \/2ixne

-> -

_nn    _nn

1

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), niemiecki filozof i matematyk; w zakresie matematyki zapoczątkował badania dotyczące rachunku różniczkowego i całkowego.

2

Wzór Stirlinga. Dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówność:

nⁿe~ⁿV27m < n\ < nⁿe~ⁿV2'ime^T^.