24 (803)

54 Szeregi zespolone

• Twierdzenie 4.1.13 (kryterium Dinchlcta))

Jeśli liczby rzeczywiste a_n, gdzie n g N, tworzą ciąg monotonicznie dążący do

oo

zera, a ciąg sum częściowych szeregu zespolonego z_n jest ograniczony, to szereg

⁰⁰

z„ jest zbieżny.

n = 1

O Ćwiczenie 4.1.14

Korzystając z powyższego kryterium uzasadnić zbieżność podanych szeregów. Pokazać tcJ’, że są one zbieżne warunkowo:

n&l    nsl

<¹>E

71JT , . H7T

cos — + isin-

6_4_

\A>

4.2 Szeregi potęgowe

• Definicja 4.2.1 (szereg potęgowy)

Szeregiem potęgowym o środku w punkcie z₀ 6 C i współczynnikach c_n 6 C, gdzie n = 0, 1,2,..., nazywamy szereg postaci:

OO

^2 c_n (z - ¹o)ⁿ . gdzie z 6 C

n=0

R = lim

1

ⁿ-°° \/k]’

jeśli granice w tych wzorach istnieją.

R = lim

n—oo

Cn + 1

'Peter Gustav Lejeunc Dirichlet (1805-1859), matematyk niemiecki.

• Twierdzenie 4.2.3 (Cauchy'ego-Hadamarda^)

Niech R będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego

OO n=0

Wówczas:

a)    jeśli R = 0, to szereg jest zbieżny tylko dla z = Zq\

b)    jeśli 0 < R < oo, to szereg jest zbieżny bezwzględnie, gdy |z — zo| < R, a rozbieżny, gdy |z — zo| > R\

c)    jeśli R = oo, to szereg jest zbieżny bezwzględnie na całej płaszczyźnie zespolonej.

Uwaga. W punktach okręgu |z - z₀| = R szereg może być zbieżny lub rozbieżny.

• Definicja 4.2.4 (koło zbieżności szeregu potęgowego)

Niech R będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego. Wtedy zbiór

{z e C: \z - z₀| < fi)

nazywamy kołem zbieżności tego szeregu.

O Ćwiczenie 4.2.5

Wyznaczyć promienie i kola zbieżności podanych szeregów potęgowych:

OO

Zbadać zbieżność szeregów potęgowych w punktach leżących na brzegu kola zbieżności w tych przykładach z poprzedniego ćwiczenia, w których 0 < R < oo.

O Ćwiczenie* 4.2.6

• Twierdzenie 4.2.7 (o holomorficzności sumy szeregu potęgowego)

oo

Suma S(z) szeregu potęgowego ^c« (* ^{— z}o)ⁿ ° promieniu zbieżności R > 0 jest

n=0

funkcją holomorficzną w kole zbieżności tego szeregu. Ponadto w kole tym mamy

oo

s'(^z) = ^ncn - *°)ⁿ 1

*Jacques Salomon Hadamard (1865-1963), matematyk francuski.

1

Definicja 4.2.2 (promień zbieinotci szeregu potęgowego)

OO

Niech y' c„ (z — z₀)ⁿ będzie szeregiem potęgowym i niech A = lim \/|c„|, Tio-

*    n —♦ oo

n =0

mień zbieżności tego szeregu definiujemy wzorem:

0, gdy A = oo,

j, gdy 0 < A < oo, oo, gdy A = 0.

Uwaga. Promień zbieżności szeregu może być obliczany także ze wzorów: