22 (909)

50

Całki z funkcji zespolonych

• Twierdzenie 3.6.2 (o pochodnych funkcji holomorficznej)

Jeśli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze O, to ma w tym obszarze pochodną dowolnego rzędu, przy czym

n! f f(z)<lz

2rri i (z - z₀)ⁿ

gdzie z₀ 6 D, n 6 JV, a C jest dowolną kawałkami gładką, dodatnio zorientowaną krzywą Jordana zawartą wraz ze swym wnętrzem w obszarze D i zawierającą w swym wnętrzu punkt Jo-

O

Ćwiczenie 3.6.3

Obliczyć całkę

/

d z

z² - i

2 ¹

C    ,

gdzie C jest dodatnio zorientowanym okręgiem ośrodku w punkcie zo i promieniu r, jeśli: a) z₀ = 0, r = 1; b) z₀ = ir, r = 1; c) zo = — ir, r = 1; d) z₀ = 0, r = 4. Wskazówka. Wykorzystać twierdzenia i wzory z dwóch ostatnich podrozdziałów.

O

Ćwiczenie 3.6.4

Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć podane całki:

dz

z(z - 3)’

e^J' dz z² + ir²’

ze' dz

(T^TF’

dz

COS KZ dz

(*^J- i)²'

C - okrąg \z — 3| = 1 dodatnio zorientowany;

C - okrąg |z -f 7ri| = 2 ujemnie zorientowany;

C - okrąg \z — t| = 1 dodatnio zorientowany;

C - okrąg |z — tj = 1 dodatnio zorientowany;

C - łamana zamknięta o wierzchołkach 1 — *, 3 — *, 2 -f- i, zorientowana dodatnio.

3.7 Odpowiedzi i wskazówki

3.2.3 a) gałąź hiperboli y = —, gdzie z > 0; b) odcinek łączący punkty 1 +i, 3; c) okrąg

X

0    środku 2 + i i promieniu 3; d) część paraboli y = z¹ dla z ^ 0; e) elipsa o środku

1    — 2i i pólosiach I, 2; f) spirala logarytmiczna e = ^e2v\ g) cykloida z = 2(t — sin t), y = 2(1 — cos t).

3.2.5 Lukami zwylymi są krzywe z punktów b), c), e), g); krzywymi Jordana są krzywe

Odpowiedzi i wskazówki

51

z punktów c), e).

ir² \/ii

3.2.9 a) A(t) = 2+\/2 + (3+ v^2) i+ (-+ V5i) t, gdzie f 6 11, b) A(t) = — + ^-i + fy + i.) (, gdzie ten, c) A(() = 1 + 2i + (l -2i)(, gdzie i € n, d) Aft) = 1 + (2 + i)t,

gdzie t e n.

3.3.3    a) 0; b) (cli ir - 1); c) --⁺    d)

3.3.4    a)    -|    (e²” + l); 1>)    (e³    + l)

3.4.4    a) O dla n ^ -1, 2iri dla n = -1; b) j(2 + i); c) | + (1 - e)i; d) — 8irt; e) i.

3.4.8    a) cos 1 ch 1 — ch 2 + isin 1 sh 1; b) -i; c) 1; d) —    — e^—;

^e) ^Tf (⁶"⁺¹ -°"^+I) •

3.5.8    a) 0; b) -2jt.

3.6.3    a) 0; b) -i; c) «; d) 0.

2    5    1

3.6.4    a) i; b) -1; c) 3e7ri; d) —tt; e) Jri.

3    Ib    Ib