00098482

256

Dl. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Tw. (o pochodnej funkcji złożonej) Jetełi funkcja C *= ę(z) zmienne] zespolonej z ma pochodną y>‘(z), natomiast funkcja w = f{f) zmienne] zespolonej £ ma pochodną /'(£). to funkcja zlatana w «= /Xr), gdzie F(z) **/lęKr)j. ma pochoótą

an.43)

n*)=/w«

przy czym na miejsce £ należy podstawić <p(z).

Pnyfchd

D-łW-fljr+Sr,    C-f(ł)-3ł+S

f(z) - (4i>) 3 - 12(3*+5)¹ Wzór (111.45) można też zapisać następująco

Tw. (o pochodnej funkcji odwrotnej). Jeieli funkcja z «= g(w) przyporządkowuje wzajemnie jednoznacznie punktom zbioru fi' punkty zbioru (2. przy czym funkcja w - f{z), odwrotna do niej, jest clągia w zbiorze O, natomiast funkcja g{te) ma pochodną g’(w) d 0 w zbiorze £2'. to funkcja f{z) ma pochodną

an.47)

przy czym w = f[z), z 6fi.

PnytM. Nieci) xt»)- n+b, ad 0. Funkcja la przyporządkowuje wzajemne jnloo-

wrołna do z = aw+b, jest ciach na całej płaszczyźnie. Ponadto *'(»>) — a i* 0. Stąd

*•“*"* r wyrokiem, który można uzyskać kofzyiląjąc z twierdzenia o działaniach arytmetycznych

na pochudnyidi.    ,

Poekofce drugWgo ł wyższych rzędów funkcji zmiennej zespolonej określa dę lak, jak w przypadku funkcji zmiennej rzeczywistej, a więc

/»*♦■> <r₀)= lim

4f Jr-Jl

Na przyUad/U)-ł*./'(ł)-2ł. /"<*)-2, /«•>(*)-0 dh kaJxk»o a > 3.

Dalsze zagadnienia związane z pochodną funkcji zmiennej zespoloną), a w szczególności związane z nią interpretacje fizyczne i geometryczne, poznamy w następnych punktach tego rozdziału.

257

J. POCHODNA FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

ĆWICZENIA

1.    Podać definicję pochodnej funkcji zmiepnej zespolonej i porównać ją z definicją pochodnej funkcji zmiennej rzeczywistej.

2.    Omówić: a) warunek konieczny, b) warunek wystarczający aa to, żeby funkcja /(z) miała pochodną w punkcie r„. Czym dla istnienia pochodnej /'(z) są warunki Cauchy'ego-Rie-manna?

3.    Omówić podstawowe wzory i twierdzenia, które dotyczą obliczania pochodnej /'(z).

4.    Udowodnić, te istnienie pochodnej /'(Zo) zapewnia ciągłość funkcji/(z) w punkcie z_a.

5.    Wykazać, te jeżeli istnieje A*), to:

•>« ón    ... . du <Hi

Wskazówka. Skorzystać ze wzorów (UI.38) i (IIL39).

6.    Obliczyć na podstawie definicji i na podstawie wzorów (IU.38), (Iil.39) o

a) i b) z zad. 5, pochodną funkcji: a) f{z)^?-z, b) /(z) =- -p , c) /(?) -Porównać wyniki otrzymane różnymi metodami.

7.    Wykazać, że funkcja: a) /(»)*■ M, b) /(r) = Imz,

c) /(z) — — (Rer+Imr)+z nic ma pochodnej w żadnym punkcie płaszczyzny.

8.    Sprawdzić, czy funkcja /(z) = «(-v, y)+Mr. y) ma pochodną:

9. Znaleźć część rzeczywistą i część urojoną funkcji/fc) = z¹^, sprawdzić, ie spełniają one warunki Cauchy^-ego-Ricmanna, obliczyć (\z) oraz f(~j) i Aj).

Odpowiedzi. 6. a) 3z'-l, b) - —, c)    .

8.    a) tak; f\z) = z‘, b) Uk;/(r)-e~', c) nie;/(z)= <l-y)(Rez-Inu).

9.    A*) = **(*+2).

6. FUNKCJA HOLOMORFICZNA

Dtf. Funkcję /{z) nazywamy holomorficzną w punkcie z„, jeżeli ma pochodną f\z) w pewnym otoczeniu tegp punktu.

Holomorficzność funkcji f{z) w punkcie z₀ jest więc właściwością odnoszącą się nie tylko do samego punktu z₀, lecz także do pewnego otoczenia tego punktu. Funkcja holomorficzna w punkcie z₀ ma oczywiście w tym punkcie pochodną, ale nic na odwrót. Funkcja może mieć pochodną w punkcie z₀ i może nie być holomorficzna w tym punkcie, gdyż może nie mieć pochodnej w żadnym otoczeniu punktu z₀-