25 (764)

50

Szeregi zespolone

4.3 Szeregi Taylora

• Twierdzenie 4.3.1 (o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora$)

Jeśli funkcja /(z) jest holomorficzna w obszarze U, to można ją rozwinąć wokół każdego punktu z₀ € D w szereg potęgowy

/•/.*_ V* /⁽ⁿ⁾ (*«) ,    ,»,

/(*) - 2_ -    ■    (« ~ «o) ,

przy czym promień zbieżności tego szeregu jest nie mniejszy niż odległość punktu zo od brzegu obszaru D. Szereg ten nazywamy szeregiem Taylora funkcji /(z) o środku w punkcie zg. Jeżeli zq = 0, to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina^.

• Twierdzenie 4.3.2 (o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy)

CO

Jeśli /(z) = c„ (z — zo)" dla każdego z z pewnego otoczenia punktu z₀, to ”⁼⁰    /(")(z o)

c„ = --p! dian = 0,1,2_____

n!

Uwaga. Inaczej mówiąc, jakąkolwiek metodą otrzymamy rozwinięcie funkcji holomorficznej w szereg potęgowy o środku w danym punkcie, to będzie to jej szereg Taylora.

Szeregi Maclaurina ważniejszych funkcji zespolonych

1 1 -z “	OO ^ z^n dla |z| < 1 n=0
OO «' = E n=0	z^n —- dla z £ C n!
^8,n*-E(2^(n+V^,n+ł dla n=0 ' '		z £ C
°° (_j \n cos z = ■ ; z^2n dla z 6 C „ (2n)! n=0 ' '
log (1 + z	°° ( i'\n-l ) = -*" dla U| < 1 n = 1
(! + *)“ oraz Q	OO / \ = eolog(l+z) _ \p f “ U" d,a |z| < j gdzie a g ^ n=0 ' ' dę/ a(or — 1) .. .(o — n + 1) n!

^sBrook Taylor (1685-1731), matematyk angielski. *Colin Maclaurin (1698-1746), matematyk szkocki.

Punkty zerowe funkcji holomorficznej

■rr

57

O Ćwiczenie 4.3.3

Rozwinąć funkcję f(z) w szereg Taylora o środku w punkcie z_D i znaleźć jego promień zbieżności, jeśli:

a) /(*) = cos² z> ^z° = °i ^b) /(*) = j"r7' *° ^{=    = S}‘" (J + *). *o = 0;

d) /(*)

i" si

= e‘, z₀ = ę_; ^e*) /(z) = <    “

dla z 5^ 0,

zo = 0.

dla 2 = 0,

W punkcie e*) sprawdzić, że funkcja jest holomorficzna w,z<> = 0.

• Definicja* 4.3.4 (funkcja analityczna)

Funkcję /(z) nazywamy analityczną w obszarze D, jeśli każdy punkt z₀ g D ma

otoczenie, w którym

/(*) = E^c" (^z ~ ^z°)ⁿ

• Twierdzenie* 4.3.5 (równoważność holomorficzności i analityczności)

Funkcja jest holomorficzna w obszarze wtedy i tylko wtedy, gdy jest analityczna w tym obszarze.    „

Uwaga*. Powyższe twierdzenie pokazuje jak silnym warunkiem jest istnienie pochodnej w obszarze dla funkcji zmiennej zespolonej.

4.4 Punkty zerowe funkcji holomorficznej

• Definicja 4.4.1 (punkt zerowy funkcji)

Jeśli / (zo) = 0, to zq nazywamy punktem zerowym funkcji /(z).

•    Definicja 4.4.2 (k-krotny punkt zerowy Junkcji holomorficznej)

Niech funkcja /(z) będzie holomorficzna w punkcie zo i niech

co + ci (z - zo) + c₂ (z - z₀)² + ...

będzie rozwinięciem tej funkcji w szereg potęgowy w otoczeniu tego punktu. I unkt z₀ nazywamy ifc-krotnym punktem zerowym funkcji /(z), jeśli

co = ci = cj = ... = et_i = 0 oraz c* 5Ć 0.

•    Fakt 4.4.3 (warunki charakteryzujące krotność punktu zerowego)

1. Punkt zo jest fc-krotnym punktem zerowym funkcji holomorficznej /(<-) ^wtcdy i tylko wtedy, gdy

oraz

/ (zo) = f (zo) = r (*o) = • • • = f^(k~^l) (*o) = 0