96
Twierdzenie 8.3* Jeśli funkcje f:fin3K(e,r) —w R me wszystkie pochodne cząstkowe rzędu m cięgłe w kuli K(a,r) oraz IhIn <, r, to
f(a+h) - f(a) ♦ df(a) + d2f(a) ♦ ... ♦ +
♦ ^T,d"f(a+Q h) (8.3)
gdzie 9 jest pewnę liczbę z przedziału (0,i).
Wzór (8.3) nazywamy wzorem Taylora dla funkcji wielu zmiennych. Dowód. Ustalany punkty a i a+h i wprowadzamy zralennę t, kła-dęc x « a + th. Jeśli t zmienia się od 0 do i, to x zmienia się od punktu a do punktu e+h. Niech dalej F:<0,1> 5 t —»f(a+th). v/ówczas, zgodnie z twierdzeniem Taylora dla funkcji Jednej zmiennej, mamy
F(l) - F(O) - f(a+h) - f(a) « dF(O) ♦ ^ d2F(0) ♦ ... + j~iyT
♦ d*F(e)
e s tęd, korzystajęc z faltu, że różniczka dowolnego rzędu nie zmienia się podczas liniowej traneformacj1 zmiennych niezależnych, otrzymujemy Już bezpośrednio wzór (8.3), co należało odowodnić.
Zauważmy, że jeśli « » 2, to przyjmujęc fi(h) « ęy Ihl**d2f(a*®h),
0<6<ia wzór Taylora zamienia się w definicję funkcji różniczkcwalneJ. Jeśli zaś m * 3, to wzór Taylora można zapisać w postaci
A* « df (a)
d2f
dxidx^
(a).hthj+ ij(h)lht2
, lim (h) - 0
I hl -*0
n
(8.4)
gdzie: óf ■ f(a+h) - f(a),
flj(h) ■ ^-j-lhl^2 d2f (a-»6h) ,
0 < 0 < i
We wzorze (8.4) występuje forma kwadratowa n n
Q(h)
(a;hih;J
^ L* L-t dx. dK.
i-i 3-1 1 z
która jest równa ^ołowie drugiej różniczki zupełnej funkcji f w punkcie a.
Zeł6ż»v, że druga różniczk- d2f(e) jest formę*kwadrętowę dodatnio oVreś’or-ę lub, co ne jedno wychodzi, że Q(h) Jest form; dodatni?. Wów-