img096

96

Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych

Twierdzenie 8.3* Jeśli funkcje f:fiⁿ3K(e,r) —w R me wszystkie pochodne cząstkowe rzędu m cięgłe w kuli K(a,r) oraz IhI_n <, r, to

f(a+h) - f(a) ♦ df(a) + d²f(a) ♦ ... ♦    +

♦ ^T,d"f(a+Q h)    (8.3)

gdzie 9 jest pewnę liczbę z przedziału (0,i).

Wzór (8.3) nazywamy wzorem Taylora dla funkcji wielu zmiennych. Dowód. Ustalany punkty a i a+h i wprowadzamy zralennę t, kła-dęc x « a + th. Jeśli t zmienia się od 0 do i, to x zmienia się od punktu a do punktu e+h. Niech dalej F:<0,1> 5 t —»f(a+th). v/ówczas, zgodnie z twierdzeniem Taylora dla funkcji Jednej zmiennej, mamy

F(l) - F(O) - f(a+h) - f(a) « dF(O) ♦ ^ d²F(0) ♦ ... + j~iyT

♦ d*F(e)

e s tęd, korzystajęc z faltu, że różniczka dowolnego rzędu nie zmienia się podczas liniowej traneformacj1 zmiennych niezależnych, otrzymujemy Już bezpośrednio wzór (8.3), co należało odowodnić.

Zauważmy, że jeśli « » 2, to przyjmujęc fi(h) « ęy Ihl**d²f(a*®h),

0<6<i_a wzór Taylora zamienia się w definicję funkcji różniczkcwalneJ. Jeśli zaś m * 3, to wzór Taylora można zapisać w postaci

A* « df (a)

11    11

L Z

i-1 j-1

d²f

dx_idx^

(a).h_th_j+ ij(h)lht²

, lim (h) - 0

I hl -*0

n

(8.4)

gdzie: óf ■ f(a+h) - f(a),

flj(h) ■ ^-j-lhl^² d²f (a-»6h) ,

0 < 0 < i

We wzorze (8.4) występuje forma kwadratowa n n

Q(h)

(a;h_ih_;J

¹ r r¹ a²*

^ L* L-t dx. dK.

i-i 3-1    ¹ z

która jest równa ^ołowie drugiej różniczki zupełnej funkcji f w punkcie a.

Zeł6ż»v, że druga różniczk- d²f(e) jest formę*kwadrętowę dodatnio oVreś’or-ę lub, co ne jedno wychodzi, że Q(h) Jest form; dodatni?. Wów-