0299

300

V. Funkcje wielu zmiennych

wistymi z, tylko dla tych par (x, y), które spełniają odpowiednio nierówność

^²+/<l lub x²+y²< 1.

Wzór

(c)

. x . y z=arc sin —H arc sin — a    h

określa funkcję dla tych wartości x i y, które spełniają, każda z osobna, nierówności

— a<x<a, — 6<y<6.

We wszystkich tych wypadkach wskazaliśmy najszerszy, naturalny [46, 2°] obszar stosowalności wzoru.

Rozpatrzmy teraz taki przykład:

Niechaj boki trójkąta zmieniają się w sposób dowolny z tym tylko ograniczeniem, że obwód jego zachowuje stałą wartość 2p. Jeśli dwa boki tego trójkąta oznaczymy przez x i y, to trzeci bok będzie równy 2p—x—y, a więc trójkąt jest określony w zupełności przez boki * i y. Jak zależy od nich pole z trójkąta?

Według wzoru Herona pole to wyraża się w następujący sposób:

(d)    z=\lp(,p-x){p-y){x-{-y-p).

Co zaś dotyczy obszaru zmienności argumentów tej funkcji, to jest on tym razem uwarunkowany tym samym zagadnieniem, które doprowadziło do Rozpatrywania tej funkcji. Ponieważ długość każdego boku trójkąta jest liczbą dodatnią mniejszą od połowy obwodu, więc muszą być spełnione nierówności

0 <x<p,    0 <y<p,    x + y>p,

które też charakteryzują obszar J( (').

Tak więc, podczas gdy dla funkcji jednej zmiennej typowym obszarem zmienności jest przedział skończony lub nieskończony, w przypadku funkcji dwóch zmiennych możliwe są naturalne obszary zmienności argumentów bardziej urozmaicone i skomplikowane.

Rozpatrywanie tych obszarów ułatwia znacznie ich interpretacja geometryczna. Jeśli wziąć na płaszczyźnie dwie wzajemnie prostopadłe osie i odkładać na nich w zwyczajny sposób wartości x i y, to jak wiadomo każda para (x, y) określa jednoznacznie punkt na płaszczyźnie, dla którego wartości te są współrzędnymi, i na odwrót.

(') Bez względu na to, że otrzymany wzór jako taki ma sens i w szerszym obszarze, na przykład dla x>p i y>p.