0325

326

V. Funkcje wielu zmiennych

(x„,y_n), dla którego 8„ nie nadaje się. Oznacza to, że istnieje w 3 punkt (x'_n,y'„), dla którego

(8)    \f(K,yn)-f(.X«,yn)\^S-

Z ograniczonego ciągu punktów y_n)} wybierzemy na mocy twierdzenia Bolzano--Weierstrassa taki ciąg częściowy {(*„„, y„_k)}, że x„_k->x*, y„_k->y*, przy czym punkt graniczny (x*, >’*) musi należeć do obszaru 3 wobec jego domkniętości.

Ponieważ dalej	l^X»k ^XnJ^<<5(i|t	. K-yJ-
i gdy k wzrasta, nk->	+ oo i 8„k-*0, więc
	x„k-xnk^0,
a zatem	t *	y^y* •
	x„k->x ,

Ze względu na ciągłość funkcji /{x, y) w punkcie (X*, y*) należącym do obszaru 3, musi być zarówno

f(x„_k, y„_k)->f(x*, y*),

jak i

f(x'„_k, y'„_k)-*f(x* , y*),

skąd

f(x„_k, yj-f(x'„_k, y'J^0,

co przeczy nierówności (8). Twierdzenie zostało udowodnione.

Dla sformułowania wynikającego stąd wniosku będzie nam potrzebne pojęcie średnicy zbioru punktów. Tak nazywa się kres górny odległości między dowolnymi dwoma punktami zbioru.

Wniosek. Jeśli funkcja f(x,y) jest ciągła w ograniczonym obszarze domkniętym 3, to dla danego e>0 istnieje takie <5>0, że jakkolwiek rozbijemy ten obszar na częściowe obszary domknięte 3_lf 3₂, ..., 3„ o średnicach mniejszych niż 8 (*), oscylacja funkcji w każdej części z osobna będzie mniejsza niż e.

Wystarczy jako <5 wziąć tę liczbę, o której mowa w definicji ciągłości jednostajnej. Jeśli średnica obszaru częściowego 3_{ jest mniejsza od <5, to odległość dwóch jego punktów (x₀, y₀) i (x, y) jest mniejsza od 8, tzn. \/'(x-x₀)²+(y-y₀)² <8. Stąd tym bardziej [x-x₀| <8 i \y—y₀\<ó, a więc | f (x, y)—f(x₀,y₀)\<e. Jeśli punkty te wybierzemy tak, by f(x,y) i f(x_Q, y₀) były odpowiednio największą i najmniejszą z wszystkich wartości funkcji w obszarze 3_h to otrzymamy żądane twierdzenie.

Łatwo dostrzec, że udowodnione twierdzenie przenosi się bez zmian — podobnie jak twierdzenie Weierstrassa — na przypadek funkcji ciągłej w dowolnym zbiorze J( ograniczonym i domkniętym.

(^l) Te obszary częściowe mogą mieć tylko punkty brzegowe wspólne.