0367

368

V. Funkcje wielu zmiennych

ność ostra

/(¹i, x₂, ..., x„) < f{x°_l ,x₂.....x°),

(>)

to mówimy, że w punkcie (x°, x₂, ■ ■■, x°) jest maksimum (minimum) właściwe, w przeciwnym wypadku maksimum (minimum) będziemy nazywali niewłaściwym.

Dla oznaczenia maksimum i minimum używany jest też wspólny termin — ekstremum. Załóżmy, że funkcja /(x_1; x₂, ..., x_n) ma w punkcie (x°, x°, ..., x°_n) ekstremum. Wykażemy, że jeżeli w tym punkcie istnieją skończone pochodne cząstkowe

to muszą one być wszystkie równe zeru, tak że znikanie pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu jest warunkiem koniecznym istnienia ekstremum.

W tym celu przyjmijmy x₂=x₂, ..., x„=x°, a x, pozostawmy zmienne. Otrzymujemy w ten sposób funkcję jednej zmiennej x_l:

u=f(x₁,x%.....x°).

Ponieważ założyliśmy, że w punkcie (x°, x₂, ..., x°„) istnieje ekstremum (dla ustalenia uwagi niech to będzie maksimum), to wynika stąd w szczególności, że w pewnym otoczeniu (x° - ó, x° + S) punktu Xj —x° musi być spełniona nierówność

f(x_i,x%,...,x⁰n)śf(x°₁,x₂,...,x°„),

a więc określona wyżej funkcja jednej zmiennej ma w punkcie Xj=x? maksimum. Stąd na podstawie twierdzenia Fermata [109] wynika, że

W ten sam sposób można pokazać, że również pozostałe pochodne cząstkowe są równe zeru w punkcie (x?, x₂, ..., x°).

Tak więc ekstrema mogą być tylko w tych punktach, w których wszystkie pochodne rzędu pierwszego są równe zeru. Współrzędne tych punktów można znaleźć, rozwiązując układ równań

/¹, (¹i.x₂.....^xn)—0 >

(1)    fx₂(¹ i,x₂,...,x_b)=0,

fx_n(^Xl’^X2,-,X„) = 0C)-

Tak jak i w przypadku funkcji jednej zmiennej punkty te nazywamy punktami stacjonarnymi.

1

W przypadku różniczkowalnej funkcji dwóch zmiennych z=/(x, y)—warunki

fi(x, y) =0 ,    //(¹, y)=0

mają prosty sens geometryczny: płaszczyzna styczna (patrz ustęp 180 wzór (6)) do powierzchni z=f(x, y) w jej punkcie odpowiadającym ekstremum powinna być równoległa do płaszczyzny xy.