0363

364

V. Funkcje wielu zmiennych

itd. Weźmy konkretną funkcję n=arc tg — . Mamy

y

du =

ydx — xdy x² + y²

₂ 2xy(dy² — dx²) + 2(x² — y²)dxdy

d. u —-

2\2

(x²+y²)

₃    (6x²y — 2y³)dx³ + (\8xy² — 6x³)dx²dy (6y²—l&x²y)dxdy² + (2x³ — 6xy²)dy³

d u = itd.

,.2\3

(x² + y²)

+ -

2\3

(x² + y²)

Złożoność wyrażenia na różniczkę wzrasta ze zwiększaniem liczby zmiennych. Jeśli u =/(x, y, z), to na przykład trzecia różniczka d³u w postaci rozwiniętej jest równa:

8    s    e    \³

— dx + — dy + — dz ) u = dx    dy    dz J

d³u , d³u = —_idx³ + dx

, d³u 3 „3 I J-3

iy^{df +}s?^dz +

d³u

dx²dy

^3

o u

dxdz²

d³u

,    d³u    , d³u ,

dx²dy + 3 ~—-—2 dxdy² + 3 . ,, dx²dz +

dxdz² + l

dxdy² d³u dy²dz

dy²dz + 3

dx²dz d³u dydz³

dydz² +

dxdydz .

dxdydz

194. Różniczki funkcji złożonych. Niech będzie teraz dana funkcja złożona

u=f(x_l,x₂, ...,x_n),

gdzie z kolei    ,    . .    . .    , »    .

x_i=<Pi(,t_l,t₁, ..., tj (i = l,2.....n).

W tym wypadku pierwsza różniczka zachowuje poprzedni kształt

du    du    du

du = — dx₁+— dx₂ + ...+—dx_n, dx_t dx₂    dx„

(na podstawie niezmienniczości kształtu pierwszej różniczki, ustęp 185). Tutaj jednak dx_lt dx₂, ..., dx_n są różniczkami nie zmiennych niezależnych, lecz funkcji, a więc same są funkcjami i mogą nie być stałe, jak to było poprzednio.

Jeśli obliczymy teraz drugą różniczkę naszej funkcji, otrzymamy, gdy skorzystamy z reguł różniczkowania z ustępu 185,

^dx‘^+d(£) ^dXz+-^+d{£) ^dx-⁺

du    du    du

+ -d(dx_l)+--d (dx₂) +... + —d (dx_n) =

vX^

A-

\dx i

d    d

dx_t + -— dx₂ + ...+ dx₂

d    \²    du    . du    -    du    _l2

— dx„) u + — d²x₁ + — d x₂ + ... + —d x_K . dx„    J    dx! dx₂    dx„