skanuj0027

208    VI. Funkcje wielu zmiennych

często symbolikę macierzową przedstawiając je w zależności od potrzeby jako wektor kolumnowy o n składowych, tzn.:

albo jako wektor wierszowy x

Dany jest zbiór X s R" gdzie n .2.2 oraz zbiór liczbowy Y c R. Jeśli każdemu elementowi: (x_l,...,.r_(I) € X jest przyporządkowa dokładnie jedna liczba y e Y, to mówimy, że została określona funkcja -rzeczywista n zmiennych, przekształcająca zbiór X w zbiór Y.

Funkcję przekształcającą zbiór X w Y zapisujemy symbolicznie w postaci /: X - Y, gdzie y = f(x,,...,x_R). Zbiór X, na którym jest określona funkcja /, nazywamy dziedziną i zazwyczaj oznaczamy symbolem D~ Każdy element zbioru D_f nazywamy argumentem funkcji /, a zbiór Y - zbiorem wartości funkcji / albo jej przeciwdziedziną, co notujemy Y =f(X), ale częściej Y = /(D^).

Argumentem funkcji n zmiennych jest element przestrzeni R", czyli uporządkowany układ n liczb rzeczywistych (argument składa się z n elementów, z których każdy reprezentuje wartość odpowiedniej zmiennej). Gdy n = 2 to mamy do czynienia z funkcją dwóch zmiennych i jej argumentami są te uporządkowane pary liczb (x,y), dla których można obliczyć f(x,y). Zatem (2;-1) i (-1;2) są dwoma różnymi argumentami funkcji /.jeśli istnieje /(2;-l) oraz /(-1;2) i nie muszą to być jednakowe liczby.

Gdy dziedzina funkcji / nie jest podana przy określeniu /, to przez D, rozumiemy taki zbiór punktów (x,    6 R", dla których wzór (równość) określający

funkcję / ma sens.

Zauważmy, że podana definicja funkcji wielu zmiennych i związane z nią pojęcia są analogiczne do użytych w przypadku funkcji jednej zmiennej (por. paragraf 1.1).

Przykład VI.1.2

Funkcja U(x,y,z) z przykładu VI.1.1 jest określona w całej przestrzeni R³, gdyż dla każdej trójki (x,y,z) e R³ można wyznaczyć odpowiednią wartość U{x,y,z).