208 VI. Funkcje wielu zmiennych
często symbolikę macierzową przedstawiając je w zależności od potrzeby jako wektor kolumnowy o n składowych, tzn.:
albo jako wektor wierszowy x
Dany jest zbiór X s R" gdzie n .2.2 oraz zbiór liczbowy Y c R. Jeśli każdemu elementowi: (xl,...,.r(I) € X jest przyporządkowa dokładnie jedna liczba y e Y, to mówimy, że została określona funkcja -rzeczywista n zmiennych, przekształcająca zbiór X w zbiór Y.
Funkcję przekształcającą zbiór X w Y zapisujemy symbolicznie w postaci /: X - Y, gdzie y = f(x,,...,xR). Zbiór X, na którym jest określona funkcja /, nazywamy dziedziną i zazwyczaj oznaczamy symbolem D~ Każdy element zbioru Df nazywamy argumentem funkcji /, a zbiór Y - zbiorem wartości funkcji / albo jej przeciwdziedziną, co notujemy Y =f(X), ale częściej Y = /(D^).
Argumentem funkcji n zmiennych jest element przestrzeni R", czyli uporządkowany układ n liczb rzeczywistych (argument składa się z n elementów, z których każdy reprezentuje wartość odpowiedniej zmiennej). Gdy n = 2 to mamy do czynienia z funkcją dwóch zmiennych i jej argumentami są te uporządkowane pary liczb (x,y), dla których można obliczyć f(x,y). Zatem (2;-1) i (-1;2) są dwoma różnymi argumentami funkcji /.jeśli istnieje /(2;-l) oraz /(-1;2) i nie muszą to być jednakowe liczby.
Gdy dziedzina funkcji / nie jest podana przy określeniu /, to przez D, rozumiemy taki zbiór punktów (x, 6 R", dla których wzór (równość) określający
funkcję / ma sens.
Zauważmy, że podana definicja funkcji wielu zmiennych i związane z nią pojęcia są analogiczne do użytych w przypadku funkcji jednej zmiennej (por. paragraf 1.1).
Przykład VI.1.2
Funkcja U(x,y,z) z przykładu VI.1.1 jest określona w całej przestrzeni R3, gdyż dla każdej trójki (x,y,z) e R3 można wyznaczyć odpowiednią wartość U{x,y,z).