skanuj0028 (6)

209

VI. 1. Określenie funkcji wielu zmiennych

Natomiast funkcja U, interpretowana jako wielkość utargu ze sprzedaży trzech rodzajów skryptów, w tym przykładzie ma sens tylko w zbiorze:

D_u ^{=    100} sx* 1500, 100 £y £1500, 100£zs2000 oraz x, y, z są

całkowite 1.

Podane w definicji zbioru D_v ograniczenia dolne i górne na wartości poszczególnych zmiennych wynikają z możliwości technicznych wydawnictw i wielkości popytu na poszczególne skrypty.

Przykład VI.l3

Dla każdej z podanych niżej funkcji dwóch zmiennych należy wyznaczyć ich dziedziny i obliczyć wartości przy wybranych argumentach:

a)    Ąx_vx₁) = Zjln(z, -x₂²).

Jej dziedziną jest D_f = {fp_t,xj) 6 K²:    - x\ > 0}<= M². Definicja D_f uwzględ

nia fakt, że wyrażenie logaryttnowane musi być liczbą dodatnią.

Dla (2; 1) eD_fJ mamy /(2;1) =2-ln(2 - l²) = 2-ln(l). Ostatecznie /(2; 1) = 0. Natomiast (1;2) € D_f, ponieważ 1 - 2² < 0 i /(1;2) nie istnieje.

b)    g(x,y) - c'^/2x~^J'², dziedzina - D_g = {(x,y) e R²: 2x - y + 2 z 0} c R². Punkt (-2; 1) D_g, ponieważ jego współrzędne nie spełniają nierówności określającej dziedzinę D_g, więc g(-2; 1) nie istnieje. Natomiast (0;0) jest argumentem funkcji g, ponieważ g(0;0) = e^² - e^1,41 = 4,11.

Nasze dalsze rozważania o funkcjach wielu zmiennych ograniczymy głównie do funkcji dwóch zmiennych (n = 2), choć podawane definicje i twierdzenia będą zazwyczaj formułowane dla dowolnych n i 2. Przykładem niech będzie definicja miejsca zerowego funkcji wielu zmiennych / (por. definicję tego pojęcia podaną w punkcie A par. 1.1).

x,j ę D_f jest miejscem zerowym funkcji /H M^o) ^ 0.

Z definicji D_f wynika, że dla funkcji dwóch zmiennych jej dziedzina jest podzbiorem przestrzeni R² [D_f ł R²). Aby lepiej wyobrazić sobie, które punkty R²