147(1)

ROZDZIAŁ VI

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

§ 1. Funkcje wielu zmiennych, ich oznaczanie i obszar okreśioności

Mówimy, że zmienna u jest funkcją n zmiennych (n argumentów) x, y, z, ..., t, jeżeli każdemu układowi wartości x, y, z, ..., t z obszaru ich zmienności odpowiada określona wartość u.

Zależność funkcyjną u od x, y, z, ..., t oznacza się symbolem u =/(*, y, z, ..., t), gdzie po symbolu funkcji (którym może być nie tylko litera/, ale i inne litery) w nawiasie wskazane są wszystkie zmienne, od których te funkcje zależą.

Wartość szczególną funkcji P(x, y, z, t), gdy a — a, y = b, z — c, t = l, oznaczamy przez Pic, b,c,Na przykład, jeżeli F(x, y, z) =

= —rz > ^to F(-2,3, 10) = ~ = -3.

y-lgz    ' j—1

Geometrycznie każdy układ wartości dwóch zmiennych x, y można przedstawić jako punkt płaszczyzny, a funkcję dwóch zmiennych z = f(x.y) jako pewną powierzchnię w przestrzeni; układ wartości i rzęch zmiennych x, y, z przedstawia punkt przestrzeni. (Zazwyczaj wartości zmiennych traktujemy jako współrzędne punktu w układzie współrzędnych kartezjańskich).

Układ wartości czterech i więcej zmiennych nie da się przedstawić poglądowo w sposób geometryczny. Jednak dla uogólnienia oraz uproszczenia notacji i rozważań mówi się, że układ wartości dowolnej liczby n zmiennych x,y,z,...,t przedstawia punkt przestrzeni n-wymiarowej M(x,y,z, .... t) a o funkcji u, zależnej od n zmiennych, mówimy, że jest ona funkcją punktu i przestrzeni n-wymiarowej: u = f(x,y,z, .... t) = f(M).

Obszarem okreśioności (czyli istnienia) funkcji nazywamy zbiór wszystkich punktów, w których funkcja przybiera określoną wartość rzeczywistą.

Dla funkcji dwóch zmiennych z = /(x, y) obszarem okreśioności jest pewien zbiór punktów płaszczyzny, a dla funkcji trzech zmiennych u = = F(x,y,z) — pewien zbiór punktów przestrzeni.

Rozwiązanie: 1) Dane nierówności są spełnione przez współrzędne każdego punktu leżącego wewnątrz i na brzegu prostokąta, którego bokami są odcinki prostych .v = 2, x = 6, y ! i y — 3. Prostokąt ten jest więc przedstawieniem obszaru D zmienności zmiennych w i y (rys. 141). Obszar, do którego należy także jego brzeg, nosi nazwę obszaru domkniętego.

2) Tym razem obszar D jest zbiorem wszystkich punktów leżących wewnątrz elipsy — =1, te bowiem punkty i tylko, te spełniają daną

nierówność (rys. 142). Obszary, do których nie należy ich brzeg, nazywamy otwartymi.

t

0 1

Rys. 141

Rys. 14Ż

3) W tym przykładzie obszar D przedstawia pierścień kołowy ograniczony okręgami x²+yr = 4 i x²+y² = 9. Okręgi te mają wspólny środek w początku układu, a ich promienie wynoszą odpowiednio /"i = 2 i r>=3 (rys. 143). Jest to obszar domknięty.

297