0353

354

V. Funkcje wielu zmiennych

itd.

d¹u

3xdy d¹u 8y8x¹

2 2 * -y

3x [(x²+y²)²/

6xy²-2x¹

(x²+y²)²

lub

«** =/^(*0 , To . Z0) » u'xy =fxy(x0 , To . Z0) , =/«(*(> » To » Z0) C) -
W analogiczny sposób definiujemy pochodne rzędu trzeciego, czwartego itd. (pochodne trzecie, czwarte, ...). Ogólną definicję pochodnej rzędu n można dać indukcyjnie. Zauważmy, że pochodna cząstkowa wyższego rzędu obliczona względem różnych zmiennych, na przykład 8^2u 8^zu 8*u
8x8y ’ 8ydx ’	8xdydz^2 ’
nazywa się pochodną cząstkową mieszaną.
Przykład 1. Niech u=x*y^1z^2. Wówczas
/ a 3 3 2 «;=4* y z ,	ux'! = 12x^1y^3z^2,
uy—3x y z ,	u£ = \2x^1 y^2 z^2,
ux=2x*y^1z,	u'tx=8x^1y^1z,
u'xji = 2Ax^1 y^3 z,	dxyxx=12x^2 y^2 z,
u',xx=36x^2y^2z^2,	u?x*I = 12x^2y^3z,
uxxr = 24 x^1y^2z,	uVxrx=12x^2y^2z.
x Przykład 2. Obliczaliśmy już [177] pochodne cząstkowe funkcji u=arctg —: y
3 u y	3u x
3x x^2+y^2’	dy x^2 +y^2 ’
obliczymy teraz dalsze pochodne
3^2u 3 / y	\ 2xy
3x^2	) (x^2+y^2)^2’
3^2u 3 1 y	\ x^2-y^2
3xdy dy \jt^2 + y^2	j (x^2+y^2)^2’

3y3x Sx

(x²+y²)² 2xy

(x²+y²)²’

( **+/) d^u d ( x ^

a7⁼3y\ x²+y²)

3 l    2xy \ 6xy²-2x

⁼ Źy[~(x²+y²f)⁼ (x²+y²)^:

1

samo wskaźnik x² na dole zastępuje xx. Trzeba o tym pamiętać także dalej.

2

drat 3x² w mianowniku zastępuje 3xdx i wskazuje na dwukrotne różniczkowanie względem x; tak

3

³) Ma się rozumieć, że różniczkowe oznaczenia należy rozpatrywać jako symbole jednolite. Kwa