0361

362

V. Funkcje wielu zmiennych

Analogicznie definiujemy różniczkę trzeciego rzędu d³u, itd. Ogólnie jeśli różniczka dⁱ~¹u rzędu k— 1 jest już zdefiniowana, to różniczkę d^ku rzędu k definiujemy jako różniczkę zupełną różniczki rzędu k — 1

d^ku = d(d^k~¹u) (¹).

Jeśli dla funkcji u istnieją pochodne cząstkowe ciągłe wszystkich rzędów do k włącznie, to jest zapewnione istnienie jej różniczki rzędu k. Jednak rozwinięte wyrażenia na kolejne różniczki stają się coraz bardziej i bardziej skomplikowane. Aby uprościć wzory na nie, postąpimy w sposób następujący.

Przede wszystkim w wyrażeniu pierwszej różniczki wyniesiemy formalnie literę u za nawias; wówczas różniczkę można napisać symbolicznie w postaci

du

J±

\dxt

. d    8

dx₁ +-—ax₂ + ...+ 8x0

k^dx)^u-

Zwróćmy teraz uwagę na to, że jeśli w wyrażeniu na drugą różniczkę również „wyniesiemy u za nawias”, to pozostające w nawiasach wyrażenie jest formalnie rozwinięciem kwadratu wyrażenia

³ _J ³ dx_t + —

8x_v    dx₂

dx₂ + ...+— dx_n. dx„

Wobec tego drugą różniczkę można zapisać symbolicznie w postaci

,    / a a    a \²

^{d u=}    + dx₂ + ... + — dx_n\ u.

8x 2    8x_n J

Analogicznie można zapisać trzecią różniczkę itd. Reguła ta ma charakter ogólny — dla każdego k zachodzi symboliczna równość

* /a a    a V

(8)    du=[ — dx_t + — dx₂ + ...+— dx_n u,

8x 2    dx_R J

którą należy rozumieć w następujący sposób. Najpierw wielomian znajdujący się w nawiasach podnosimy formalnie według reguł algebry do wskazanej potęgi, a następnie wszystkie otrzymane składniki mnożymy symbolicznie przez u (które dopisujemy w licznikach przy a¹) i dopiero po wykonaniu tego przywracamy wszystkim symbolom ich pierwotny sens pochodnych i różniczek.

Widzieliśmy, że reguła ta jest słuszna dla k= 1, 2; wobec tego wystarczy wykazać, że jeśli jest ona słuszna dla d^ku, to jest również słuszna dla d^k+1u.

Zakładając, że prawo to zachodzi dla d^ku, będziemy mieli rozwinięcie

A=lc,

a¹u

dxlⁱdxl\..dx’„ⁿ

dx\‘dx^x2...dxl’'

1

Łatwo jest zdefiniować pojęcie różniczki cząstkowej dowolnego rzędu; nie będziemy się na tym zatrzymywali.