22894

Funkcje wielu zmiennych. Różniczkowanie

1. Pochodne funkcji wielu zmiennych. Przypadek funkcji o wartościach wektorowych. • Różniczkowanie 0 ¹ —>□ ¹

f,x° - punkt _ otoczenia, U (x°) - otoczenie

/ '(a:⁰ ) to f - różniczkowalna.

Gdy istnieje granica lim

/(*«+/.)-/(*») .

f(x⁰ + h)-f(x⁰) = Ali + o(h),o(h) = ha(h)

o(h)— zbiór_ wszystkich_ funkcji = |^(/;') o(h* )|

.    * o(h)

ol li)—>\im——- = 0

^h~**> li

\"f:U(x⁰)-*U\U(x⁰)(zU^l + rozniczkowa\nosc_w_x⁰=>f(x⁰ + h)-f(x⁰)

A - odwzorowanie _ liniowe

UWAGA:

/ - royiicjwwa I n a _ H’ _ x° = / (jr°) + —-— (.v-x°)+...+o(//)-szereg _ Taylora _ z Piana'

2.    Twierdzenie o ciągłości funkcji różniczkowalnej.

3.    Twierdzenie o pochodnej funkcji (podstawowe własności pochodnej).

4.    Pochodne cząstkowe i różniczki funkcji wielu zmiennych. Różniczka zupełna.

5.    Interpretacja geometryczna różniczki zupełnej w przypadku funkcji dwóch zmiennych. Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji.

6.    Jakobian (macierz Jacobiego). Pochodne (cząstkowe) funkcji złożonych.

7.    Pochodna kierunkowa i gradient funkcji. Interpretacja geometryczna.

8.    Pochodne i różniczki wyższych rzędów. Twierdzenie o pochodnych mieszanych.

9.    Twierdzenie o wartości średniej.

10.    Funkcje uwikłane. Twierdzenie o istnieniu. Różniczkowainość funkcji uwikłanej.

11.    Wzór Taylora.

12.    Ekstrema funkcji wielu zmiennych (definicje).

13.    WK istnienia ekstremum.

14.    WW istnienia ekstremum.

15.    Ekstrema globalne (największe i najmniejsze wartości funkcji).

16.    Ekstrema warunków. Metoda współczynników Lagrange'a.