0330

331

§ 3. Pochodne i różniczki funkcji wielu zmiennych

x

Przykład 3. Dla u= -j-?—mamy

x +y +z

da    -2 xz

dz (x² +y² +z²)²’

du    y² + z²—x²    da    — 2 xy

dx~(x²+y²-rz²)²'    b~y~(x²+y²-z²)²'

Przykład 4. Niech z=yf(x²—y²), gdzie/(«) jest dowolną funkcją różniczkowalną, tzn. mającą pochodną. Udowodnić, że spełniona jest zawsze zależność

1    dz    1    dz    z

x    dx    y    dy    y²    ’

jakakolwiek jest funkcja /.

Na mocy reguły różniczkowania funkcji złożonej (primem oznaczamy pochodną względem «) mamy

~ = yf'(x² -/)■ 2x = 2xyf'(x²-y¹), ox

_v =/(r^!-/)-2//V-}'²),

dy

skąd

] dz i dz    ,    ,    1    ,    ,    ,    , z

- =2yf\x² ^y²) + -f{x²-y²)-2yf’(x²-y²) = -₂. X dx y dy    y    y

Przykład 5. Bok a trójkąta może być wyznaczony przez dwa inne boki b, c i kąt a zawarty między nimi ze wzoru

b² +c² — 2bc cos a.

Wówczas

da    b — c cosa    b — c cosa    da ócsina

db    b² +c² -Ibc co% a    a ’ da u

Przykład 6. Znany z fizyki wzór Clapeyrona pV—RT (gdzie ż? = const) wyraża związek między objętością V, ciśnieniem p i temperaturą absolutną T jednej gramocząsteczki gazu idealnego i określa jedną z wielkości p, V, T jako funkcję dwóch pozostałych. Jeśli p, V są zmiennymi niezależnymi, a T ich pV

funkcją T=—, to R

dT_ y    dT p

9p    r    ’    Yy~1'

RT

Jeśli rolę zmiennych niezależnych grają zmienne p i T, a V jest ich funkcją V=—, to

P

dV_    RT    dV_R

bp    p²    dT p

RT

Niech wreszcie Ki T będą zmiennymi niezależnymi, ap ich funkcją p= — . Wówczas

dp RT dp R JV V² '    ~bT~~V’

Stąd otrzymujemy między innymi ważną dla termodynamiki zależność dp dV dT    RT R V    RT

Jv Jr Tp ~ V² p R    pV~