0342

343

§ 3. Pochodne i różniczki funkcji wielu zmiennych

to funkcja złożona określona równościami

1

rsin — t

u=- dla t-fe0,    «=0    dla f=0,

1 +J^2,3sin² —

/

nie będzie wcale miała pochodnej w punkcie /=0.

183. Wzór Lagrange’a. Niech funkcja f (x, y, z) określona i ciągła w obszarze domkniętym 9s ma pochodne cząstkowe f'_x, f'_y, f'_z ciągłe wewnątrz tego obszaru (tj. w każdym jego punkcie wewnętrznym). Rozpatrzmy dwa punkty z Q>'.

M_a(x₀,y₀,z₀) i M_l(x₀+Ax, y₀+Ay, z₀ + Az),

które można połączyć odcinkiem prostoliniowym M₀M_l leżącym całkowicie w obszarze 2.

Wówczas zachodzi wzór

(10)    Af(x₀,y₀, z₀)=f(x₀ + Ax,y₀+Ay, z₀ + Az)-f(x₀,y₀, z₀) =

=f_x(x₀ + 9Ax, y₀ + 6Ay, z₀ + 9Az)Ax+fy(...)Ay+f_z{...)Az

(O<0< 1),

zupełnie analogiczny do znanego wzoru Lagrange’a dla funkcji jednej zmiennej [112, (2)]. Dla dowodu podstawmy do funkcji f{x, y, z):

(11)    x = x₀ + tAx,    y=y₀ + tAy,    z = z₀ + tAz

(przy 0<fs£l), tj. rozpatrzmy naszą funkcję właśnie w punktach prostoliniowego odcinka M₀M₁. Funkcja złożona zmiennej t:

F(t)—f(x₀ + tAx, y₀ + tAy, z₀ + tAz)

jest ciągła w całym przedziale <0,1) [170], a wewnątrz niego ma pochodną, która w myśl wzoru (8), jest równa

P'(t)^:=fx(x₀ + tAx, y₀ + tAy, z₀ + tAz)Ax+f^(...)Ay+/,(■■■)Az, bo z (11) mamy

dx    dy    dz

—=Ax, —~Ay, ——Az. dt    dt ^y dt

Zastosujmy do funkcji F(t) w przedziale <0, 1> wzór (2) z ustępu 112:

F(1)-F(O)=F'(0)    (O<0<1).

Jeśli zauważymy, że zgodnie z definicją funkcji F(f):

F(l)-F(0)=f(x₀+Ax,y₀+Ay, z₀+Az)-f(x_a, y₀, z₀)