0340

341

§ 3. Pochodne i różniczki funkcji wielu zmiennych

Przyjmując x=ę(t), y = y(t) i różniczkując na podstawie wyprowadzonej wyżej reguły różniczkowania funkcji złożonej, otrzymamy znany nam już wzór J. Bernoulliego

u',—yx* ~¹ x'_t + x^y ln x ■ y',.

Przedtem wyprowadziliśmy ten wzór (przy innych oznaczeniach) za pomocą sztucznego chwytu [99, 23],

2)    Niech u=f(x, y, z) ma pochodne cząstkowe ciągłe i za x, y i z podstawmy

x=n-t, y=i-t, z=(-n.

Wówczas

du    du 3 u    Su    Su    Su    Su    Su Su

8(    Sy~^3z’    Sr/    Sx    S z’    S£    Sx^Sy"

3)    Jeśli (przy tych samych założeniach o funkcji f) pozostawiając jako zmienną niezależną x przyjmiemy

y=y(x),    *=■r W,

gdzie funkcje y(x), z(x) są różriiczkowalne względem x, to u jako funkcja złożona zmiennej x będzie miała pochodną

du Su Su dy Su dz dx 3x Sy dx ^ dz dx lub

du

—£= f'x(x, y{x), z(x)) + fj{x ,y(x),z (x)) y'(x) +//(*, y{x), z(x))z'(x).

Samo x gra tutaj rolę zmiennej t ze wzoru (8).

4)    Jeśli natomiast pozostawimy obie zmienne x, y jako niezależne, a zamiast z podstawimy funkcję

z=z{x, y)

mającą pochodne cząstkowe względem x i względem y, to dla funkcji złożonej u=f(x, y, z(x, yj) będziemy mieli

du

— =f'(x, y, z(x, y))-\-fz(x, y, z(x, y))z'_x(x, y), dx

du

r-=/»(*> y, ^z(x, y))+fź(x, y, z(x, y))z,'(x, y).

Sy

5)    Jako następny przykład zastosowania wzoru (9) rozpatrzymy różniczkowanie wyznacznika

	Uli	<*12 •	• <*1 n
A =	a -i i	<*22	Ojn
	Un 1	<*n2	• Ann

przy założeniu, że jego elementy a,_k (i, £ = 1, 2, ń) są funkcjami pewnego parametru /, dla których istnieją pochodne da,_kldt względem t.

Przypominając sobie rozwinięcie wyznacznika względem fc-tej kolumny

A=A_ik aik+/(jka2k +    tfik + ••• +A„_k u„_k,

gdzie dopełnienia algebraiczne A_lk, A_2k.....A_nk nie zawierają elementu a_lk, dochodzimy do wniosku, że