0346

347

§ 3. Pochodne i różniczki funkcji wielu zmiennych

mającymi również ciągłe pochodne cząstkowe x_t, x'_v, y\, yi, z_t, z'_v. Wówczas [181] nie tylko istnieją pochodne funkcji złożonej u względem t i v, ale pochodne te są również ciągłe względem t i v, jak łatwo można zauważyć z (8).

Gdyby x, y i z były zmiennymi niezależnymi, to jak wiemy różniczka zupełna funkcji u byłaby równa

du = u_x dx + u'_y dy + u’_zdz.

W danym wypadku jednak u zależy pośrednio — poprzez x, y, z — od zmiennych t \ v. A więc względem tych zmiennych różniczkę napiszemy w sposób następujący:

du = u',dt + u'_vdv.

Na mocy (8) jednak

u;=u_xx;+u'_yy;+u'z;

i analogicznie

u'_v = u'_xx'_v + u'_yy’_v + u'₂z'_v.

Po podstawieniu tych wartości do wyrażenia na du otrzymamy:

du = (u_xx'_t + u^lyy'_t + u'_zz'_t)dt + (u_xx’_v + u'_yy'_e + u'_z z'_v)dv.

Przegrupujemy składniki i otrzymamy

du = u'_x(x'_tdt + x'_lldv) + Uy(y{dt + y!_>dv) + u'_I(z'_tdt+z'_l,dv).

Nietrudno dostrzec, że wyrażenia w nawiasach są właśnie różniczkami funkcji x, y, z zmiennych t i v, można więc napisać

du = u_xdx + u’_y dy + u_zdz.

Otrzymaliśmy tę samą postać różniczki co i w wypadku, gdy x, y, z były zmiennymi niezależnymi, ale sens symboli dx, dy, dz jest tu już oczywiście inny.

Tak więc dla funkcji wielu zmiennych ma miejsce niezmienniczość wzoru na pierwszą różniczkę, tak samo jak i dla funkcji jednej zmiennej (¹).

Może się zdarzyć, że x, y i z będą zależne od różnych zmiennych, na przykład

x=q>{t), y = y/{t,w), z = x(v,w).

W takim wypadku możemy zawsze uważać, że

x=ęft,v,w), y = y/₁(t,v,w), z = xft,v,w) i wszystkie poprzednie rozumowania można będzie zastosować również w tym wypadku.

C¹) Zaznaczamy, że ten sam wniosek jest słuszny również przy samym założeniu różniczkowalności wszystkich rozpatrywanych funkcji. Żeby przekonać się o tym wystarczy wykazać, że superpozycja funkcji różniczkowalnych jest znowu funkcją różniczkowalną.