0334

335

§ 3. Pochodne i różniczki funkcji wielu zmiennych

Analogiczną osobliwość w punkcie (0, 0) ma również funkcja

f(x, v)=VM-

Pozostawiamy czytelnikowi zanalizowanie tego przykładu.

179. Różniczka zupełna. W przypadku funkcji jednej zmiennej y=f(x) rozpatrywaliśmy w ustępie 103 zagadnienie przedstawienia jej przyrostu Ay=Af(x₀)=f(x₀ + Ax)-—f (x₀) ^w postaci

(3)    Af(x₀) = AAx + o(Ax)    C4=const).

Okazało się [104], że na to, by takie przedstawienie było możliwe, potrzeba i wystarcza, by istniała w punkcie x=x₀ pochodna skończona f’(x₀), przy czym równość (3) realizuje się właśnie dla A =f'(x₀). Część liniową przyrostu funkcji

AAx— f'(x₀) Ax=y'Ax

nazwaliśmy jej różniczką dy.

Przechodząc do funkcji wielu zmiennych, na przykład trzech zmiennych, /(x, y, z) określonej w pewnym obszarze możemy postawić analogiczne pytanie o możliwości przedstawienia przyrostu

Au=A f(x₀, yo, z₀) =/0o+Ax,y₀+Ay,z₀ + Az)-/(x₀, y₀ > ²o)

w postaci

(4)    Af(x₀ ,y₀,z₀) = AAx + BAy + CAz + o(p),

gdzie A, B i C są stałe, a p = \JAx² 4- Ay² + Az².

Tak jak i w ustępie 103, łatwo wykazać, żc jeśli zachodzi rozwinięcie (4), to w punkcie U₀, >'o, z₀) istnieją pochodne cząstkowe względem każdej ze zmiennych, przy czym

f'_x(x_0>y₀,z₀) = A, f'_y(x₀,y₀,z₀) = B, /^(x₀,y₀>²o) = C.

Rzeczywiście, przyjmując w (4) na przykład Ay = Az=0 i zIjc#0 otrzymujemy

f(x₀ + Ax,y₀,z₀)-f(x₀,y₀,z₀) o(|zlx|) --— z4 H----?

skąd wynika, że istnieje granica

/x(*0. V₀,Z₀) =

= A.

f(x₀+Ax,y₀,z₀)-f(x₀,y₀,z₀)

hm-----

jx-*o    Ax

Tak więc zależność (4) ma zawsze postać

(5) Af(x₀,>o, z_Q) =/;(x₀,y₀, z₀)A.x +/' (x₀,y₀, z₀)Ay +f'_z(x₀, y₀,z₀)Az + o(p), lub napisane krócej:

(5*)    Au = u'_xAx + u^r>.Ay + u'_zAz + o(p).