0344

345

§ 3. Pochodne i różniczki funkcji wielu zmiennych

Niech M zbliża się nieograniczenie do M₀. Jeśli istnieje granica

..    /(A#)-/(M„)

lim--,

M-Mo M₀M

to granica ta nazywa się pochodną kierunkową funkcji f(M) w kierunku 1 (lub wzdłuż osi /); oznaczamy ją

df(M₀)_df(x₀, y₀, z₀) dl    dl

Pochodna ta charakteryzuje prędkość zmiany funkcji w punkcie M₀ w kierunku /.

df df df

W szczególności, jak zaznaczyliśmy, zwykłe pochodne cząstkowe —, —, — też można rozpatrywać jako pochodne kierunkowe.    ^x dy z

Załóżmy teraz, że funkcja f{x,y,z) ma w rozpatrywanym obszarze ciągłe pochodne cząstkowe C). Niech oś / tworzy z osiami współrzędnych kąty a, /?, y. Udowodnimy, że przy tych założeniach pochodna w kierunku l istnieje i wyraża się wzorem

(12)

Sf(x₀,y₀,z₀) df    df    df

-= — cos a + — cos /H--cos y,

dl    dx    dy    dz

Dla dowodu zauważmy, że jeśli wprowadzimy oznaczenie M₀M=t, to będziemy mieli x — x₀ = tcosa,    y — y₀ = t cos/?,    z —z₀ = tcosy.

Tak więc współrzędne x, y, z wzdłuż osi l można rozpatrywać jako funkcje zmiennej t: (13)    x = x₀ + t cosa,    y = y₀ + tcosf},    z = z₀ + t cosy, funkcję zaś f(M) =/(x, y, z) — jako funkcję złożoną ę(t) zmiennej t. Przy tym punktowi M₀ odpowiada wartość t równa zeru.

Tak więc

g/(M„)

dl

<p\0),

/(M)-/(M₀)    cp(t)-ę(0)

lim--=lim-

M₀M »->o f

jeśli tylko istnieje pochodna <p'(0). Pochodna ę'{t) przy przyjętych założeniach istnieje i wyraża się na mocy (9) wzorem

, df dx df dy df dz »'(?) = — • — + — • —+ —• —. dx dt dy dt dz dt

Korzystając ze wzorów (13) otrzymamy

,    5/ df _n df

ę (t) = — cosa-l- —- cosp + — cosy,

dx    dy    dz

skąd wynika nasze twierdzenie. ¹

1

Patrz notka (³) na dole str. 339.