0332

333

§ 3. Pochodne i różniczki funkcji wielu zmiennych

gdzie a, fi, y, zależą od Ax, Ay, Az i wraz z nimi dążą do zera. Tym razem jednak trzeba będzie nałożyć na funkcję mocniejsze ograniczenia.

Twierdzenie. Jeśli pochodne cząstkowe f'_x{x, y, z),f'(x, y, z),f₂(x, y, z) istnieją nie tylko w punkcie (x₀, y_Q, z₀), lecz także i w pewnym jego otoczeniu i oprócz tego są w tym punkcie ciągle jako funkcje trzech zmiennych x, y, z, to zachodzi wzór (1).

Dla dowodu napiszemy przyrost zupełny funkcji Au w następującej postaci:

Au- [f(x₀ + Ax, y₀ + Ay, z₀ + Az) -f(x₀ ,y₀ + Ay,z₀ + Azj] +

+ [/(*0, ^0 +4y> ^zo +^Az)-f(^xo > >’o, ^zo +A^Z)] + [f(x₀ ,y₀,z₀ + Az)-f(x₀, y₀, z₀)].

Każda z tych różnic jest przyrostem cząstkowym względem jednej tylko zmiennej. Ponieważ założyliśmy istnienie pochodnych cząstkowych w otoczeniu punktu (x₀, y₀, z₀), więc dla dostatecznie małych Ax, Ay, Az można zastosować do każdej z tych różnic z osobna wzór Lagrange’a [112](¹1. Otrzymujemy

Au=fź(x_o + 0Ax,y_o + Ay,z_o + Az)Ax+fy(x_o,y_o + 0_lAy,z_o + Az)Ay+fj(x_o,y_o,z_o + 0₂Az)Az. Jeśli przyjąć, że

fź(x_o + 0Ax,y_o + Ay,z_o + Az)=fź(x_o,y_o,z_o) + a, fy(x₀.y₀ + 0idy,z₀+Az) —fy(x₀ ,y₀,^zo) +fi, fz(x₀, J’0 , ^zo + M^z) =fz(*o. J’o. ^zo) + y»

to otrzymamy wyrażenie (1) dla Au. Gdy Ax~*0, Ay->0, Az-+0, argumenty pochodnych po lewej stronie tych równości dążą do x₀, j₀> ^zo» bowiem 6, 6_V, 0₂ są ułamkami właściwymi, a więc same pochodne wobec założenia ciągłości ich w punkcie (x₀, y₀, z₀) dążą do pochodnych występujących po prawej stronie, a wielkości a, fi, y dążą do zera. To kończy dowód.

Udowodnione twierdzenie pozwala stwierdzić między innymi, że z istnienia i ciągłości w danym punkcie pochodnych cząstkowych wynika ciągłość w tym punkcie samej funkcji’, rzeczywiście, jeżeli Ax~*0, Ay-*0, Az-*0, to oczywiście również Au-*0.

Po to, by można było napisać wzór (1) w bardziej zwartęj postaci, rozpatrzmy wyrażenie

p = \j Ax²+Ay²+Az¹,

tj. odległość między punktami

(^xo*yo > ^zo)    i (x₀ + Ax,y₀ + Ay,z₀ + Az).

Korzystając z niej możemy napisać

/ Ax    Ay    Az\

ocAx + fiAy + yAz = l a---1-fi---hy— )p.

V    P    P    P/

(‘) Jeśli wziąć na przykład pierwszą różnicę, to można ją rozpatrywać jako przyrost funkcj f(x, yo+Ay, z₀ + Az) jednej zmiennej x odpowiadający przejściu od x = x₀ do x=x₀+Ax. Zgodnie z za. łożeniem istnieje dla wszystkich x w przedziale (x₀, x₀ +Ax) pochodna tej funkcji względem x, tzn fx(x, yo + Ay, z₀+Az), a więc można stosować wzór Lagrange’a.