0350

351

§ 3. Pochodne i różniczki funkcji wielu zmiennych

187. Funkcje jednorodne. Jak wiadomo, wielomianami jednorodnymi nazywają się wielomiany składające się ze składników tego samego stopnia. Na przykład wyrażenie

2>x² — 2xy + Sy²

jest wielomianem jednorodnym drugiego stopnia. Jeśli pomnożyć tu x i y przez pewien czynnik t, to cały wielomian ulegnie pomnożeniu przez czynnik t². Podobnie jest dla dowolnego wielomianu jednorodnego.

Jednak i funkcje o bardziej skomplikowanej budowie mogą mieć taką samą własność. Jeśli wziąć na przykład wyrażenie

x⁴+y⁴ x --In —,

x-y y

to i ono ulegnie pomnożeniu przez czynnik t² przy pomnożeniu obydwu argumentów X i y przez t analogicznie do wielomianu jednorodnego drugiego stopnia. Jest naturalne nazwać funkcję tego typu również funkcją jednorodną stopnia drugiego.

Podamy definicję ogólną.

Funkcja/(x,, x₂,    x„), n argumentów, określona w obszarze O nazywa się funkcją

jednorodną stopnia m, jeśli przy pomnożeniu wszystkich jej argumentów przez czynnik t funkcja ulegnie pomnożeniu przez ten sam czynnik w potędze m, tzn. jeśli będzie toż-samościowo spełniona równość

(19)    f(tx_t,tx₂, ..., tx_n) = t^mf(x_l, x₂,..., x„).

Dla prostoty przyjmiemy ograniczające założenie, że x_lt x₂, x„ i t przybierają tylko wartości dodatnie. Będziemy zakładali, że obszar O, w którym rozpatrujemy funkcję f zawiera wraz z dowolnym swym punktem M{x_x, x₂, ..., x„) również wszystkie punkty postaci M,(tx_l, tx₂, .... tx_n) dla t >0, tzn. cały promień wychodzący z początku układu i przechodzący przez punkt M.

Stopień jednorodności m może być dowolną liczbą rzeczywistą; tak na przykład funkcja

„    y „    x

x sin —h y cos    —

x    y

jest funkcją jednorodną stopnia te argumentów x i y.

Postaramy się teraz otrzymać ogólne wyrażenie dla funkcji jednorodnej zerowego stopnia. Tutaj jest

f(txj, tx₂, ..., fx„)=/(x₁,x₂, ...,x„).

Podstawiając t— l/x, otrzymamy

f(xi,x₂,    , x„)=f(l,    — , ..., —Y

\    -*i    *i/

Jeśli wprowadzimy funkcję n — 1 argumentów

<p(u_iyu₂, ...,U_B-i)=/(l,Ui,    i),