0352

353

§ 3. Pochodne i różniczki funkcji wielu zmiennych

Widzieliśmy, że równość tę spełnia dowolna funkcja jednorodna stopnia m mająca pochodne cząstkowe ciągłe. Wykażemy teraz, że i na odwrót — każda funkcja, która jest ciągła wraz ze swoimi pochodnymi cząstkowymi i spełnia równość Eulera (20), musi być funkcją jednorodną stopnia m.

Rzeczywiście, niech f{x,y,z) będzie taką funkcją. Ustalmy w dowolny sposób wartości x₀, y₀, z₀ i rozpatrzmy funkcję zmiennej t (przy Z > 0):

f(tx₀,ty₀,tz₀)

Jest ona określona i ciągła dla wszystkich t>0. Obliczając jej pochodną <p'{t) według reguły różniczkowania ułamka, otrzymamy także ułamek, którego licznik równa się

[fx(txo, ty₀, tz₀)x₀ +fy(tx₀, ty₀, tz₀)y₀ +fź(tx_Q, ty₀, tz₀) z₀] 1 - mf(tx₀, ty₀, tz₀).

Zastąpmy we wzorze Eulera (20) x, y, z przez tx₀, ty₀, tz₀. Widzimy wówczas, że licznik ten jest równy 0, a więc ę'(t)=0 i <p(r) = c=const (dla z>0). Aby wyznaczyć stałą c, przyjmijmy /= 1 w równości określającej ę[t). Otrzymamy

c=f(x₀, y₀, z o).

A więc

<Pi 0 =

f(tx o, ty o, tz₀) t^m ~

=f(xo, y₀, z₀)

f(tx o, ty ₀, tz₀) = t^mf(x₀, y o, z₀),

cbdo.

Można powiedzieć, że wzór Eulera w takim samym stopniu charakteryzuje funkcję jednorodną stopnia m, co i podstawowa równość (19).

§ 4. Pochodne i różniczki wyższych rzędów

189. Pochodne wyższych rzędów. Jeśli funkcja u=f(x, y, z) (^!) ma w pewnym obszarze otwartym 2 pochodną cząstkową względem jednej ze zmiennych, to pochodna ta, będąc sama funkcją zmiennych x, y, z, może mieć z kolei w pewnym punkcie (x₀,y₀, z₀) pochodne cząstkowe względem tej samej lub dowolnej innej zmiennej. Dla funkcji wyjściowej u=f{x, y,z) te ostatnie pochodne są pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu (lub drugimi pochodnymi cząstkowymi).

Jeśli pierwsza pochodna była obliczona na przykład względem x, to jej pochodne względem x, y, z będziemy oznaczali w następujący sposób:

_ v²f(x₀, >’q, z₀) d²u _ d²f(x₀,y₀, z₀) d²u _ a²f(x₀, y₀, z₀) dx²    dx² ’ dxdy    dxdy ’    dxd z    8x8z ¹

23 G. M. Fichtenholz

1

Ograniczamy się tu dla uproszczenia wzorów do funkcji trzech zmiennych.