5638684958

22

I. Funkcje dwu lub więcej zmiennych

Analogicznie definiujemy, obliczamy i oznaczamy pochodne cząstkowe funkcji trzech lub większej liczby zmiennych.

Funkcję dwóch lub większej liczby zmiennych, mającą pochodne cząstkowe rzędu pierwszego ciągłe, nazywamy funkcją klasy C¹.

W interpretacji geometrycznej (rys. 1.14), pochodna cząstkowa flfx„,y₀) równa się współczynnikowi kątowemu (równemu tg a) stycznej do krzywej będącej przekrojem powierzchni z ~f (x, y) z płaszczyzną y=y₀ (równoległą do płaszczyzny Oxz) w punkcie

x_a. Analogiczną interpretację geometryczną ma pochodna cząstkowa/^o, yo) (rys. 1.14).

Specjalnej uwagi wymaga obliczanie pochodnej cząstkowej funkcji złożonej. Niech funkcje 3 (x,y) i h(x,y) będą określone w pewnym zbiorze płaskim A i niech zbiór par wartości tych funkcji {g(x,y), h(x, y)) będzie zawarty w zbiorze płaskim B, w którym jest określona funkcja/(u,o).

Jeżeli funkcje g(x,y) i h(x,y) mają pochodne cząstkowe w punkcie (x₀, y₀), a funkcja f(u, v) ma pochodne cząstkowe fi i /' ciągle w pewnym otoczeniu punktu («₀, t>₀), gdzie u₀ = =g(^xo,yo), o₀~h(x₀,y₀), to funkcja złożona F(x,y)=f(g(x, y), h(x, y)) ma pochodne cząstkowe w punkcie (x₀, y₀), przy czym

(E)    JE)    (E)    JE)    (E)

(1.9.3)

\^^x /(*0. yo) \^^u / («o. 06)\^^xJ(xo. yo) \^^v /(MO. io)\^*/(x

(E)    JE)    (E)    JE)    (E)

\^du\dvj_(n._n)\dyj_{1,

Wzory powyższe zapisujemy często w skróconej postaci w następujący sposób:

dF    df du    Sf dv    dF    df Su    df    do

— =—---+—--- oraz —=—• — +—----

dx    du dx    do dx    dy    du dy    do    dy

Jeżeli w szczególności u i u są różniczkowalnymi funkcjami jednej zmiennej t: u=u(t), v=v(t), oraz u(tf)—u_a, v(t_c)=v₀, to przy podanych założeniach pochodna funkcji F(t) = =f (u(t), »(/)) w punkcie t₀ wyraża się wzorem

(1 -9.4)    F'(t₀) =/„' (u₀, o₀) u'(i₀) +/.' (“o. «o) “'('o).

lub (por. (1.9.3')): (1.9.4')

dF_df du df do dt du dt do dt '

Otrzymujemy stąd wzór na różniczkę funkcji F(t)=f(u(t),v(t)) (por. I, § 6.1):

df    df

(1.9.5)    dF—-^-du-\——do.

du    do

Zadanie 1.32. Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji 2=x²y³—xsiny.

Rozwiązanie. Mamy

—=3x*y²—x cos y.

dz ,

-j-=2xy — siny,