0351

352

V. Funkcje wielu zmiennych

to okaże się, że    .

(^x2    ^xn

f(x_l,x₂, ...,X_n)=<p — ,    —

\^X1    Xj

Tak więc każda funkcja jednorodna zerowego stopnia da się przedstawić w postaci funkcji stosunków wszystkich argumentów do jednego z nich. Twierdzenie odwrotne jest oczywiście także prawdziwe, powyższa równość przedstawia więc ogólną postać funkcji jednorodnej stopnia zerowego.

Jeśli f{x₁,x₂, ■■■, x„) jest funkcją jednorodną stopnia m, i tylko w tym wypadku, stosunek jej do x™ będzie funkcją jednorodną stopnia zerowego, a więc

f(x₁,x₂, ...,x_n)    (x₂    x„

---=«»(-, -

*1    \*i    ^xi

Tak więc otrzymujemy ogólną postać funkcji jednorodnej stopnia m:

f(x₁,x₂, ..., x_n) = x™(pl— , ..., --\*1

Przykład.

i

.4 , „4

X +y X ₂ — In — =x

x-y y

'1 +

'^x/ l-i ^x

188. Wzór Eulera. Załóżmy teraz, że funkcja /(x, y, z) (^J) jednorodna stojpnia m ma w obszarze otwartym Q) ciągłe pochodne cząstkowe względem wszystkich argumentów. Ustalając w sposób dowolny punkt (x₀,y₀, z₀) z Q> otrzymamy na mocy tożsamości (19) dla dowolnego />0:

f(tx o, ty o, tz₀) = t^mf(x₀, y₀, z₀).

Zróżniczkujmy teraz tę równość względem t — lewą stronę według reguły różniczkowania funkcji złożonej (²), a prawą — po prostu jako funkcję potęgową.

Otrzymujemy

fź(.tx₀,ty₀,tz₀)x₀+fy(tx₀,ty₀,tz₀)y₀+fź(tx₀,ty₀,tz₀)z₀ = mt^m~ⁱf(x₀,y₀,z₀). Jeśli podstawimy tu r=l, otrzymamy wzór

fx(^X 0 > ko . ^zo) *0 +fy(^x 0 , ko » ^zo) ko +fź(^x0 . ko , ^zo) ^Z0 = ^mf(^X ₀ , ko . ^zo) •

Tak więc dla dowolnego punktu (x,y,z) zachodzi równość

(20)    fj(x, y, z) x +Ą(x, y, z) y +/_z'(x, y, z) z = mf(x, y, z).

Równość ta nosi nazwę wzoru Eulera.

O Tylko dla uproszczenia zapisu ograniczamy się tu do trzech zmiennych.

(²) Właśnie dlatego, aby mieć prawo zastosować tę regułę, założyliśmy ciągłość pochodnych cząstkowych [181].