0351

0351



352


V. Funkcje wielu zmiennych

to okaże się, że    .

(x2    xn

f(xl,x2, ...,Xn)=<p — ,    —

\X1    Xj

Tak więc każda funkcja jednorodna zerowego stopnia da się przedstawić w postaci funkcji stosunków wszystkich argumentów do jednego z nich. Twierdzenie odwrotne jest oczywiście także prawdziwe, powyższa równość przedstawia więc ogólną postać funkcji jednorodnej stopnia zerowego.

Jeśli f{x1,x2, ■■■, x„) jest funkcją jednorodną stopnia m, i tylko w tym wypadku, stosunek jej do x™ będzie funkcją jednorodną stopnia zerowego, a więc

f(x1,x2, ...,xn)    (x2    x„

---=«»(-, -

*1    \*i    xi

Tak więc otrzymujemy ogólną postać funkcji jednorodnej stopnia m:

f(x1,x2, ..., xn) = x™(pl— , ..., --\*1

Przykład.

i


.4 , „4


X +y X 2 — In — =x


x-y y


'1 +

'x/ l-i x


188. Wzór Eulera. Załóżmy teraz, że funkcja /(x, y, z) (J) jednorodna stojpnia m ma w obszarze otwartym Q) ciągłe pochodne cząstkowe względem wszystkich argumentów. Ustalając w sposób dowolny punkt (x0,y0, z0) z Q> otrzymamy na mocy tożsamości (19) dla dowolnego />0:

f(tx o, ty o, tz0) = tmf(x0, y0, z0).

Zróżniczkujmy teraz tę równość względem t — lewą stronę według reguły różniczkowania funkcji złożonej (2), a prawą — po prostu jako funkcję potęgową.

Otrzymujemy

fź(.tx0,ty0,tz0)x0+fy(tx0,ty0,tz0)y0+fź(tx0,ty0,tz0)z0 = mtm~if(x0,y0,z0). Jeśli podstawimy tu r=l, otrzymamy wzór

fx(X 0 > ko . zo) *0 +fy(x 0 , ko » zo) ko +fź(x0 . ko , zo) Z0 = mf(X 0 , ko . zo) •

Tak więc dla dowolnego punktu (x,y,z) zachodzi równość

(20)    fj(x, y, z) x +Ą(x, y, z) y +/z'(x, y, z) z = mf(x, y, z).

Równość ta nosi nazwę wzoru Eulera.

O Tylko dla uproszczenia zapisu ograniczamy się tu do trzech zmiennych.

(2) Właśnie dlatego, aby mieć prawo zastosować tę regułę, założyliśmy ciągłość pochodnych cząstkowych [181].


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
320 V. Funkcje wielu zmiennych to będziemy mówili, że w punkcie M funkcja ma nieciągłość, nawet w t
skanuj0032 (47) Jeśli dodatkowo funkcję Aa i Bx przekształcić do postaci: A3 =X+Z+Y Bj = X+Y+Z to ok
25504 img007 230 ZBIGNIEW TARKOWSKI nym — badającym rozwój mowy, języka, komunikacji językowej — to
160 (2) Wybóry i prawo wyborcze to okaże się że partia A uzyskała niemal 50 000 głosów mniej niż pow
343 § 3. Pochodne i różniczki funkcji wielu zmiennych to funkcja złożona określona
345 § 3. Pochodne i różniczki funkcji wielu zmiennych Niech M zbliża się nieograniczenie do M0. Jeśl
388 V. Funkcje wielu zmiennych Aby mieć pewność, że równania te określają jednoznacznie wartości x,

więcej podobnych podstron