0319

320

V. Funkcje wielu zmiennych

to będziemy mówili, że w punkcie M' funkcja ma nieciągłość, nawet w tym wypadku, gdy w samym punkcie M' funkcja nie jest określona (porównaj z uwagą w ustępie 66).

Punkty nieciągłości mogą być nie tylko izolowane, jak w poprzednim przykładzie, ale mogą też wypełniać linie, powierzchnie itp. Tak na przykład funkcje dwóch zmiennych

x² + y²    1

x² —y² ’    x²+y²-1

mają nieciągłości — pierwsza wzdłuż prostych y=±x, a druga wzdłuż koła x²+y² = 1. Dla funkcji trzech zmiennych

x+y+z    1

xy-z ’ x² + y²-z²

nieciągłości wypełniają w pierwszym przypadku paraboloidę hiperboliczną z=xy, a w drugim — stożek z² = x²+y².

170. Działania na funkcjach ciągłych. Łatwo wysłowić i udowodnić twierdzenie o ciągłości sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu dwóch funkcji ciągłych (porównaj ustęp 67). Pozostawiamy to czytelnikowi.

Zatrzymamy się tylko na twierdzeniu o superpozycji funkcji ciągłych. Jak i w ustępie 164 załóżmy, że prócz funkcji u—f(x_l,x₂, ■■■, x„) określonej w zbiorze J( punktów przestrzeni n-wymiarowej M(x_l, x₂, ..., x„) dane jest jeszcze n funkcji

(4)    x₁ = <p_l(t_l, t₂, ..., tj, ...,    x_n=<p„(t_l,t₂,

określonych w pewnym zbiorze & punktów przestrzeni w-wy miarowej P(t _t, t₂, ..., t_m), przy czym punkt M o współrzędnych (4) nie wychodzi poza wspomniany zbiór J(.

Twierdzenie. Jeśli wszystkie funkcje ęjP) (i=l, 2, ..., n) są ciągłe w punkcie P\t[, t₂, ■ ■ ■, t’„) z    a funkcja f (M) jest ciągła w odpowiednim punkcie M’(x j, x₂,..., x’„) o współ

rzędnych

x[ = <p₁(t'i,t₂, ...,t'J,    ... ,    x^=ę>_n(t’₁,t'₂, ...,t'J,

to i funkcja złożona

W=/(^l(<l, h, --.U.    <Pn(h,h> •••>    <Pz(P)> •••» <P_n(P))

jest ciągła w punkcie P’.

Rzeczywiście, najpierw wobec ciągłości funkcji/dobierzemy do liczby e>0 taką liczbę 3 > 0, żeby z nierówności (3) wynikała nierówność (2). Następnie dla liczby <5 wobec ciągłości funkcji cp,, ę>₂, ..., ę_n znajdujemy taką liczbę 7>0, że nierówności

(5)    \ti-ti\<ri, ..., \t_m-t'_m\<tj pociągają za sobą nierówności

|*i -*'iH<Pi(h>t₂,    ...,01 <Ó,

(■^fj    j X i ^2) ■ • ■ » ^m)    » ^2 ) * * * ) ^m)| ^ ^ •