0413

414

VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania

Będziemy mówili, że w punkcie M₀(x°, x°₂.....x°_+m) spełniającym równania (1) fun

kcja f(xi, x₂,x„_+m) ma maksimum (minimum) warunkowe, jeżeli nierówność

f(x i, X2, ... , X_{n + m}) ^ f(x i, X2 , • • • >    + m)

(»

jest spełniona w tych wszystkich punktach pewnego otoczenia punktu M₀, które spełniają równania (1).

Załóżmy, że funkcja / i funkcje <£, mają w otoczeniu punktu M₀ ciągłe pochodne cząstkowe względem wszystkich argumentów. Ponadto załóżmy, że w punkcie M₀ jest różny od zera co najmniej jeden z wyznaczników stopnia m macierzy utworzonej z pochodnych cząstkowych 0)

80!		80t	80!
8xt	8xn	8xn+l	dx„ + m
802	802	d02	802
8xt	8x„	Sxn+t	*n + m
	S0m	d&	d0m
8xt	8x„	dxn+l	Sx„+m_

Na przykład niech będzie różny od zera wyznacznik

(3)

£>(¹„+!, X_{B +}2, ...,x„ ₊ m)

801	80!
dxn+1	Sx„+m
802	802
dx„+1	Sxn+m
S0m	d0m
^»+i

Jeżeli się teraz ograniczymy do dostatecznie małego otoczenia punktu M₀, to zgodnie z twierdzeniem IV układ (1) będzie równoważny z układem postaci

(⁴)    Xn+l=V>l(Xi,X₂,    ...,    x„ _{+ m}=<p_m(x₁,x₂, ...,x„),

w którym q>_t, ę>₂,..., ę_m są funkcjami uwikłanymi określonymi układem (1). Innymi słowy żądanie, by wartości zmiennych x_ltx₂, ...,x„,x_n+l, ...,x_n+m spełniały równania (1), można zastąpić żądaniem, by zmienne x_n+₁,x_B+2,..., x_n+m były funkcjami (4) zmiennych ¹i, x₂,..., x„. Tym samym rozważane zagadnienie ekstremum warunkowego funkcji n+m zmiennych f(x₁,x₂,...,x„+J w punkcie M₀(x°₁, x°₂,    , x°, x°₊₁,    , x°_+m) zostaje

1

W takim przypadku mówimy, że macierz (2) ma (w punkcie A/₀) rząd m.