0427

428

VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania

jest tożsamościowe) równy zeru, bo rząd macierzy (19) jest równy fi- Lewa strona równania

8F

(27*) jest zgodnie z definicją (26) funkcji F_u+i równa pochodnej ———. Tym samym pochodna ta jest rzeczywiście równa zeru.    "⁺

Zatem w funkcji F„₊₁ można opuścić argumenty x_tl+y, x_tl+2, ..., x„ i funkcja j'„₊₁ zależy tylko od y₃, y₂,    cbdo.

W przykładzie 1 z ustępu 215 macierz Jacobiego ma postać

rl    1    ...    1    -i

2xi    2x₂    ...

_X2+.*3+ ...+*„    X_l+X₃    + ...+X„    ...    Xi+X₂ +    ...+X„-i    .

Jeżeli do elementów jej trzeciego wiersza dodamy odpowiednie elementy drugiego wiersza pomnożone przez i, to wszystkie elementy trzeciego wiersza będą jednakowe, podobnie jak w pierwszym wierszu. Stąd już wynika, że wszystkie wyznaczniki trzeciego stopnia są równe zeru. Rząd tej macierzy jest równy 2, i rzeczywiście niezależne są dwie spośród trzech funkcji danych w tym przykładzie, a trzecia jest od tych dwóch zależna.

To samo można powiedzieć o przykładzie 2 z ustępu 215.

Na zakończenie zauważmy, że możliwe są przypadki, gdy zależność między funkcjami jest różna w różnych częściach obszaru, lub gdy funkcje zależne w pewnej części obszaru są niezależne w innej, itp.

Przykład 3. Dane są funkcje y_t i y₂ dwóch zmiennych niezależnych, określone na płaszczyźnie x_tx₂ równościami

\xlxl, gdy x_t >0,

0    , gdy xi <0, ^yi (0

gdy x₂>0, gdy *₂<0.

Łatwo można sprawdzić, że funkcje te są ciągłe wraz z pochodnymi na całej płaszczyźnie.

W tym wypadku rząd macierzy Jacobiego jest równy 2 w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, jedności — w drugiej i w czwartej ćwiartce, a zeru w trzeciej. Tylko w pierwszej ćwiartce funkcje są niezależne.

§ 4. Zamiana zmiennych

217. Funkcje jednej zmiennej. Celem tego paragrafu jest przedstawienie formalnego procesu zamiany zmiennych i wobec tego nie będziemy teraz odwracali uwagi czytelnika wyjaśnianiem założeń, przy których dozwolone są wszystkie wykonywane czynności. Nie byłoby w tym zresztą nic trudnego.

Znaczna część tego paragrafu mogłaby być wyłożona wcześniej, wydawało się nam jednak celowe zebranie całego materiału związanego z zamianą zmiennych w jednym miejscu.

Niech będzie dane wyrażenie

/    dy d²y    \

fV=f[x,y, — ,    ... I •

\    dx dx²    )

zawierające zmienną niezależną x, funkcję y tej zmiennej i pochodne funkcji y względem x aż do pewnego rzędu. W wyrażeniu tego typu trzeba czasem przejść do nowych zmiennych — zmiennej niezależnej t i jej funkcji u. Przy tym nowe zmienne związane są ze starymi zmiennymi x i y określonymi zależnościami, które nazywają się wzorami na zamianę zmiennych lub wzorami na przekształcenie. Ściślej mówiąc trzeba przedstawić W jako funkcję t, u i pochodnych u względem t.

Taka zamiana zmiennych jest zazwyczaj uzasadniona albo specjalnym znaczeniem, jakie mają w rozpatrywanym zagadnieniu zmienne t i «, albo uproszczeniem wyrażenia W, które taka zamiana powoduje.