0391

392

VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania

Gdybyśmy mieli jedną funkcję y zmiennej x i zmienna jt była funkcją jednej zmiennej t,

dy dx dy

to otrzymalibyśmy znany wzór na pochodną funkcji złożonej — • — = — ; tym samym

dx dt dt

znaleziona własność jakobianów okazuje się uogólnieniem wzoru na pochodną funkcji złożonej.

Omówmy oddzielnie przypadek, gdy zmienne t_ltt₂, ...,t_n są identyczne ze zmiennymi y_lf y₂,..., y„, tak że układ funkcji (2) jest wynikiem odwrócenia układu (1) (¹). Wówczas otrzymana równość sprowadza się do następującej:

D(x_l>x₂, ...,X„) D(y_lty₂, ...,y„)

czyli

(4)

D(yi,yi.....y_a)    i_

D(x_t ,x₂.....P(x_i,x₂, ...,x_n) ■

D(yi,y₂, ■■■,y„)

W tej postaci przypomina ona wzór na pochodną funkcji odwrotnej.

204. Mnożenie macierzy funkcyjnych (macierzy Jacobiego). Niech będzie dane m funkcji yi,y₂. y„ od n(n>m) zmiennych x_t,x₂, ...,x„:

yi=fi(x₁,x₂, ...,x_n),

y₂~fi(^xi > ^x2.....x_B),

ym⁼fm(^xl ’ ^X2 > ••• > ^n) >

przy czym zmienne x₂, x_z,..., x_n są z kolei funkcjami m zmiennych t₁,t₂,...,t_m:

x1 = ę>i(t1,t2, .	-,o.
^x2=<p2(ti, t2,.
^x* = <P»(tl,t2, ••

Zakładając dla obu układów istnienie ciągłych pochodnych cząstkowych postaramy

się obliczyć jakobian funkcji y,, y₂,..., y_m względem zmiennych t₂,t₂.....i_m.

W teorii wyznaczników podaje się ogólne twierdzenie o mnożeniu macierzy, którego szczególnym przypadkiem jest wykorzystane wyżej twierdzenie o mnożeniu wyznaczników.

(') Zakładamy tu możliwość takiego odwrócenia. Patrz następny paragraf.