0409

410

VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania

2) Dane jest równanie

F(x, y) = x² 4- ,v² — 3 axy=0.

Należy znaleźć ekstremum określonej tym równaniem funkcji uwikłanej y zmiennej x.

Jest tutaj

FZ = 3(x² — ay),    F; = 3(y² — ax).

Ze wzoru (15) widać, że na to, aby y' = 0, musi być spełnione równanie Fź=0. Rozwiązując-układ równań F= 0 i FZ = 0 znajdujemy dwie pary wartości x i y

x=0,    y — 0    oraz    x=aj/ 2,    y = a^/ 4.

W pierwszym z tych punktów pochodna F'_y jest także równa zeru, a więc w otoczeniu tego punktu dane równanie może nie określać zmiennej y jako jednoznacznej funkcji x. Punktem (0, 0) nie będziemy się wobec tego zajmowali.

W drugim punkcie F,= 3a² f/i>0 i możemy stosować twierdzenie II. Aby się przekonać czy w tym punkcie jest ekstremum, obliczmy y" dla x — a^J2. Najprościej jest skorzystać ze wzoru (16) przyjmując w nim y' = 0:

^y = ~F⁽ )-

^r y

Ponieważ dla x = a i]2 jest F'_x2 = 6x>0, więc y"<0 i w punkcie tym jest maksimum.

3) Niech funkcja uwikłana z zmiennych x i y będzie określona równaniem

Obliczamy kolejno

xdx ydy^zdz ^

2 2

c x    c y

dz=- -j-dx- -2—dy, a z    b z

dz

~dx

c^2x	dz c^2y
a^2z ^1	dy b^2z
dy^2	dz^2 z d^2z
ls ^+	ir+^=°

a więc

Następnie

Otrzymujemy stąd, korzystając ze znalezionego już wyrażenia dla dz:

_j2 c¹ \(x² z²\dx² 2xy    ty²    z²\dy²1

Daje nam to pochodne

a¹.    .¹    / Z

ie

d‘z c¹ tx²    z²) d²z c¹xy d²z c¹ ty² z²\

dx dy    a²b²z³ dy

4) Niech z będzie określone jako funkcja x i y równaniem

z—x + ytp(z).

dx² a²z³\a² c²)    dxdy    a²b²z³ dy² b²z³\b² c²) ’

Dowieść, że

dz    dz

przy założeniu, że 1 — y<p'(z)^0.

1

Nie jest to wzór ogólny na y”; jest on prawdziwy tylko w badanym punkcie (a ^2, a \J 2).